Радиус окружности — что такое, формула, как найти ⚪

Основные понятия

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов, важно понять разницу между понятиями.

Окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра, лежащие в одной плоскости. Проще говоря, это замкнутая линия, такая как обруч и кольцо.

Окружность — это часть плоскости, лежащая внутри окружности. Другими словами, плоская фигура, ограниченная кругом, наподобие шара и блюдца.

Радиус — это отрезок, соединяющий центр окружности и любую точку на ней. Общепринятым обозначением радиуса является латинская буква R.

Читайте также: Как найти периметр фигур, его обозначение, измерение

Что такое радиус

И на самом деле:

Радиус — это отрезок, начинающийся в центре окружности и заканчивающийся в любой точке поверхности. В то же время так называется и длина этого отрезка.

Вот так это выглядит графически.

Само слово RADIUS имеет латинские корни. Оно происходит от «радиус», что можно перевести как «луч» или «спица». Впервые этот математический термин ввел французский ученый П. Ромус. Это было в 1569 году.

Но потребовалось немногим более ста лет, прежде чем слово RADIUS прижилось и стало общепринятым.

Кстати, у слова РАДИУС есть несколько значений:

1. Степень охвата чего-либо или степень распространения. Например, говорят: «Огонь уничтожил все в радиусе 10 километров» или «Он показал на карте дальность действия артиллерии»;
2. В анатомии этим словом обозначают радиус предплечья.

Но нас, конечно, интересует RADIUS как математическое понятие. И тогда мы продолжим говорить об этом.

Радиус и диаметр

Радиус в математике всегда обозначается латинской буквой «R» или «r». Принципиальной разницы в том, следует ли писать в верхнем или нижнем регистре, нет.

А два радиуса, соединенные вместе, находящиеся также на одной прямой, называются диаметрами. Или по-другому:

Диаметр — это отрезок, проходящий через центр окружности и соединяющий две противоположные точки на поверхности. По аналогии с радиусом под диаметром понимается и длина этого отрезка.

Диаметр также обозначается первой буквой слова – D или d.

Из определения диаметра можно сделать простой вывод, который также является одной из основных основ геометрии.

Фактически:

Длина диаметра в два раза больше длины радиуса.

Свойства радиуса

К радиусу применяются несколько важных правил:

1. Радиус равен половине диаметра. Это то, что мы только что продемонстрировали.
2. Круг может иметь любое количество радиусов. Но все они будут одинаковой длины.
3. Если на пересечении радиуса и поверхности круга провести касательную, то эти две линии пересекутся под прямым углом. Доказательство этой теоремы наглядно показано на следующем рисунке.
4. Радиус, перпендикулярный хорде, делит ее на две равные части.

   Помните, что хорда — это любой отрезок, проходящий через две точки на поверхности окружности, но не через центр. В этом он принципиально отличается от диаметра.

Формулы вычисления радиуса круга

1. Через длину окружности/периметр круга

Радиус круга/окружности рассчитывается по формуле:

C — длина окружности/длина окружности; равно удвоенному произведению числа π на его радиус:

С = 2πR

π — это число, приблизительное значение которого равно 3,14.

2. Через площадь круга

Радиус круга/окружности рассчитывается следующим образом:

S – площадь круга; равно числу π, умноженному на квадрат радиуса:

S = πR2

Формула радиуса окружности

Способ расчета проще определить, опираясь на исходные данные. Далее вы рассматриваете девять формул разной степени сложности.

Если известна площадь круга

, где S — площадь круга, π — постоянная, выражающая отношение длины окружности к диаметру, она всегда равна 3,14.

Если известна длина

, где С — длина окружности.

Если известен диаметр окружности

, где D – диаметр.

Диаметр — это отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр. Радиус всегда равен половине диаметра.

Если известна диагональ вписанного прямоугольника

R = d : 2, где d — диагональ прямоугольника.

Диагональ вписанного прямоугольника делит фигуру на два прямоугольных треугольника и является их гипотенузой — стороной, противоположной прямому углу. Если диагональ неизвестна, вычислить ее поможет теорема Пифагора:

, где а, b — стороны вписанного прямоугольника.

Если известна сторона описанного квадрата

, где а — сторона квадрата.

Сторона описанного квадрата равна диаметру окружности.

Если известны стороны и площадь вписанного треугольника

, где а, b, с — стороны треугольника, S — площадь треугольника.

Если известна площадь и полупериметр описанного треугольника

, где S — площадь треугольника, p — половина периметра треугольника.

Полупериметр треугольника – это сумма длин всех сторон, деленная на два.

Если известна площадь сектора и его центральный угол

, где S — площадь сектора окружности, α — центральный угол.

Площадь сектора круга – это часть S всей фигуры, ограниченная окружностью радиуса.

Если известна сторона вписанного правильного многоугольника

, где a — сторона правильного многоугольника, N — количество сторон.

В правильном многоугольнике все стороны равны.

Примеры задач

упражнение 1
Длина окружности равна 87,92 см. Найдите ее радиус.

Решение:
Используем первую формулу (через окружность):

Задача 2
Найдите радиус круга, площадь которого равна 254,34 см2.

Решение:
Воспользуемся формулой, выраженной через площадь фигуры: