Решение уравнений с модулем методом интервалов

Внешний вид уравнений

Уравнения по модулю могут выглядеть примерно так:

• |х| = 6
  (по модулю х равно 6)
• |х – 11| = 3
  (по модулю х минус 11 равно 3)
• |х + 4| = 9
  (по модулю х плюс 4 равно 9)

В модуле указана неизвестная переменная (просто x или выражение, включающее x).

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала координат до точки на координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если взять число «а» и изобразить его на координатной прямой точкой А — расстоянием от точки А до начала координат (то есть до нуля), то длину отрезка ОА назовем модулем числа «а».

Символ модуля: |a| = ОА

Давайте посмотрим на пример:

Точка B, соответствующая числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала координат). Следовательно, длина отрезка ОВ равна 3 единицам.

Число 3 (длина отрезка OB) называется модулем числа −3.

Обозначение модуля: |−3| = 3 (читай: «модуль числа минус три равен трем»).

Точка C, соответствующая числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала координат, то есть длина отрезка OS равна четырем единицам.

Число 4 называется модулем числа +4 и обозначается следующим образом: |+4| = 4.

Вы также можете опустить плюс и записать значение как |4| = 4.

Читайте также: Трапеция: свойства, признаки, площадь, средняя линия — материалы для подготовки к ЕГЭ

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. В каком бы классе ни учился ваш ребенок, эти правила всегда пригодятся.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, модуль числа не может быть отрицательным:

• |а| > 0

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

• |а| = а, если а > 0

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

• |−а| = а

4. Модуль нуля равен нулю.

• |0| = 0, если а = 0

5. Противоположные числа имеют равные модули.

• |−а| = |а| = а

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

• |аб| = |а| |б| когда

аб = 0

или

−(ab), когда ab < 0

7. Модуль частного равен частному от деления модуля числителя на модуль знаменателя:

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до заданного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую линию и покажем на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте посмотрим на примеры.

Решим уравнение: |x| = 5.

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, где расстояние до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Если у нас есть два числа a и b, то их разность равна |a — b| равно расстоянию между ними по числовой прямой или длине отрезка АВ.

Расстояние от точки а до точки b равно расстоянию от точки b до точки а, тогда |a — b| = |б — а|.

Решим уравнение: |a — 3| = 4. Запись звучит так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: -1 и 7. Мы вычли из 3 4 — и это один ответ, а также прибавили 4 к 3 — и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7| < 4.

Читаем эту запись так: расстояние от точки a до точки −7 меньше четырех. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию:

Ответ в этом случае будет: (−11; −3).

Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.

Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно семи. Отметим эти точки на числовой прямой.

Ответ: (−∞; 3 17, +∞).

График функции

График функции y = |х|.

При х > 0 имеем у = х.

При x < 0 имеем y = −x. В результате получаем:

Этот график можно использовать для решения уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

На тесте или экзамене может возникнуть проблема, когда вам нужно вычислить √a2, где a — число или выражение.
Кроме того, √a2= |a|.

По определению арифметического квадратного корня, √a2 — это неотрицательное число, квадрат которого равен a2 .

Оно равно a при a > 0 и −a при a < 0, т е только |a|.

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала координат до точки на координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Модуль рациональных чисел, примеры:

|-3,5| = 3,5

|2.27| = 2,27

Решение уравнений

Давайте разберем решение для каждого из приведенных выше примеров.

|х| = 6

Это означает, что на числовой прямой есть две точки, где расстояние до нуля равно шести. Это точки -6 и 6, следовательно, это уравнение имеет два корня: x1 = -6 и x2 = 6.

|х – 11| = 3

В этом случае на числовой оси расстояние от точки x до точки 11 равно 3. Таким образом, уравнение имеет два корня: x1 = 11 — 3 = 8, x2 = 11 + 3 = 14.

|х + 4| = 9

Это уравнение можно переписать следующим образом: |x — (-4)| = 9.

Теперь мы можем интерпретировать это так: на оси координат точка xi находится на расстоянии 9 от точки -4. Итак, x1 = -4 — 9 = -13, x2 = -4 + 9 = 5.

Примечание:

Иногда могут быть уравнения с двумя модулями, например: |x| = |у|.

В этом случае тоже два корня: x1 = -y и x2 = y.

Что такое уравнение с модулем и как его решить?

В уравнениях с модулем неизвестное значение содержится под знаком модуля. Например:

|х−2| = 5

Уравнения с модулем бывают разные и решаются они разными методами. Нельзя сказать, что какой-либо метод является наиболее рациональным. Все зависит от исходного уравнения.

Например, в одних уравнениях можно просто угадать корень, а в других приходится логически мыслить, открывать модули и производить идентичные преобразования. Человек волен выбирать, какой метод решения он хочет использовать.

Например, давайте решим приведенное выше уравнение |x − 2| = 5. Предположим, что мы не знаем ни одного метода решения. Как бы мы решили это?

Прежде всего заметим, что правая часть этого уравнения равна числу 5. Модуль из выражения |x − 2| находится слева. Это означает, что выражение подмодуля x − 2 должно быть равно числу 5 или −5

Значит нужно узнать, при каких значениях переменной x выражение подмодуля x — 2 превратится в число 5 или -5.

Искомые значения x можно найти, приравняв выражение подмодуля к числам 5 и −5, а затем решив каждое из уравнений по очереди:

Следовательно, корни уравнения |x − 2| = 5 — числа 7 и −3.

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить, используя правило расширения модуля. Для этого откройте модуль, содержащийся в уравнении, затем замените полученное выражение исходным уравнением вместо выражения с модулем.

Вы должны расширить модуль для каждого из случаев: когда выражение подмодуля больше или равно нулю, и когда выражение подмодуля меньше нуля.

Решим наше уравнение |x − 2| = 5 с использованием правила расширения модуля. Распечатаем модуль отдельно и расширим его:

Эта конструкция утверждает, что если выражение подмодуля x − 2 больше или равно нулю, модуль будет расширяться как x − 2, и тогда исходное уравнение будет иметь вид x − 2 = 5, из которых x = 7

И если выражение подмодуля x — 2 меньше нуля, модуль будет расширяться как — (x — 2). Тогда исходное уравнение будет иметь вид −(x − 2) = 5, из которых x = −3

Итак, уравнение |x − 2|= 5 имеет корни 7 и −3. Для проверки подставим в исходное уравнение вместо x числа 7 и −3. Тогда получим правильное равенство:

Выражение подмодуля обычно содержит x, который может сделать все выражение подмодуля положительным числом, отрицательным числом или даже нулем.

Поэтому модуль расширяется для каждого из случаев: когда выражение подмодуля больше или равно нулю, и когда выражение подмодуля меньше нуля. Каждый из случаев даст независимое уравнение со своим корнем.

Теперь вернемся к тому моменту, когда мы открыли модуль:

Условия x − 2 ≥ 0 и x − 2 < 0 являются неравенствами, которые можно решить, тем самым сведя их к простой форме:

Символ ⇔ означает эквивалентность. При этом указывается, что условие x − 2 ≥ 0 эквивалентно условию x ≥ 2, а условие x − 2 < 0 эквивалентно условию x < 2.

Этот тип записи состояния позволяет однозначно сказать, при каком х модуль откроется с плюсом, а при каком с минусом.

В первом случае условие стало x ≥ 2. Это означает, что для всех x, больших или равных 2, модуль |x − 2| откроется с плюсом. Итак, при x = 7 выражение подмодуля будет равно 5

|7 − 2| = |5|

Так что дополнительное раскрытие будет плюсом

|7 − 2| = |5| = 5

Аналогично, модуль |x − 2| будет вести себя и с другими значениями xi в интервале x ≥ 2. То есть расширяется на плюс. Примеры:

Для x = 3 |3 − 2|=|1| = 1
Для x = 4 |4 − 2|=|2| = 2
Для x = 2 |2 − 2|=|0| = 0
Для x = 13 |13 − 2|=|11| = 11

А во втором случае условие показало x < 2. Это значит, что при всех x меньше 2 модуль будет расширяться на минус. Так что при x = −3 выражение подмодуля снова будет равно 5. Но в промежуточных вычислениях видно, что модуль расширяется на минус:

|−3−2| = |−5| = -(-5) = 5

Модуль | х — 2 | точно так же будет вести себя и с другими значениями xi в интервале x < 2. Примеры:

Для x = 1 |1 − 2|=|−1| = -(-1) = 1
Для x = 0 |0 − 2|=|−2| = -(-2) = 2
Для x = −1, |−1 − 2|=|−3| = -(-3) = 3
Для x = −9,|−9 − 2|=|−11| = -(-11) = 11

Число 2 является своеобразной точкой перехода, где модуль |x − 2| изменяет порядок открытия.

Его можно представить в виде модуля |x − 2| двигались по маршруту от минус бесконечности до числа 2, открываясь в каждой точке с минусом. Однажды в точке 2 модуль поменял порядок открытия, а именно, после открытия в точке 2 плюсом, он начал открываться плюсом, двигаясь в правую сторону в сторону плюса бесконечности.

Используя координатную линию, это можно представить следующим образом:

Красные знаки минус и плюс показывают, как модуль |x − 2| на интервалах x < 2 и x ≥ 2.

Точка перехода может быть найдена для любого модуля. Для этого нужно выяснить, при каком x выражение подмодуля равно нулю. Нуль — это значение, до и после которого модуль всегда сохраняет свой знак. Это следует из правила разложения по модулю:

В этом примере в момент, когда x становится равным нулю, модуль |x| будет расширен на плюс, и для всех х больше нуля, он будет расширен на плюс. Наоборот, для всех x меньше нуля модуль будет расширяться на минус:

А например для модуля |2x + 6| точкой перехода будет число -3, так как при подстановке в выражение подмодуля 2x+6 вместо x это выражение подмодуля будет равно нулю. Изобразим это на рисунке:

Для всех x, больших или равных −3, модуль будет увеличиваться на плюс. Примеры:

Для x = −3 |2 × (−3) + 6| = |0| = 0
Для x = 4 |2 × 4 + 6| = |14| = 14
Для x = 5 |2 × 5 + 6| = |16| = 16

А для всех х меньше 3 модуль будет расширяться на минус. Примеры:

Для x = −4 |2 × (−4) + 6| = |−2| = -(-2) = 2
Для x = −5 |2 × (−5) + 6| = |−4| = -(-4) = 4
Для x = −6 |2 × (−6) + 6| = |−6| = -(-6) = 6

Пример 2. Решить уравнение |x| + 3х = -2

Решение

Разложим модуль, который содержится в левой части уравнения:

Если x ≥ 0, модуль будет расширен со знаком плюс, и тогда исходное уравнение будет иметь вид x + 3x = −2. Давайте решим это уравнение прямо сейчас:

Теперь рассмотрим второй случай — когда x < 0. В этом случае модуль исходного уравнения будет разложен на знак минус, и тогда мы получим уравнение −x + 3x = −2. Давайте решим это уравнение:

Получил корни
и -1.

Проверим, подставив найденные корни в исходное уравнение. Давайте проверим корень

Мы видим это, когда заменяем корень
исходное уравнение не превращается в истинное равенство. Фонды
не является корнем исходного уравнения.

Проверим корень −1

У нас правильный баланс. Следовательно, из двух найденных решений только −1 является корнем уравнения.

Ответ: -1.

Здесь можно сделать важный вывод. В уравнениях с модулем найденные корни не всегда удовлетворяют исходному уравнению. Чтобы убедиться в правильности решения, проверьте, подставив найденные корни в исходное уравнение.

Кроме того, вы можете проверить, является ли найденное значение корнем уравнения, используя условие, по которому был расширен модуль.

Итак, в этом примере мы расширили модуль |x| для случаев, когда выражение подмодуля больше или равно нулю, и когда выражение подмодуля меньше нуля:

Условия x≥0 и x<0 являются неравенствами. Найденные корни можно заменить этими неравенствами. Если неравенства верны, корни удовлетворяют исходному уравнению.

Поэтому, когда мы расширяем модуль со знаком плюс, мы получаем уравнение x + 3x = −2. Корнем этого уравнения является число
. Это число не удовлетворяет условию x ≥ 0, согласно которому модуль |x| и согласно которому было получено уравнение x + 3x = −2. На самом деле, когда вы заменяете номер
в неравенство x ≥ 0 получаем неверное неравенство.

А когда мы разложим модуль со знаком минус, то получим уравнение −x + 3x = −2. Корнем этого уравнения является число −1. Это число удовлетворяет условию x<0, согласно которому модуль |x| и согласно которому было получено уравнение −x + 3x = −2. Фактически, подстановка числа −1 в неравенство x < 0 дает правильное неравенство.

Пример 3. Решить уравнение |1 − 2x| −4x = −6

Решение

Расширяем модуль:

Раскладывая модуль |1 − 2x| со знаком плюс получаем уравнение 1 − 2x − 4x = −6. Давайте решим это:

Раскладывая модуль |1 − 2x| со знаком минус получаем уравнение −1 + 2x − 4x = −6. Давайте решим это:

Получил корни
и
.

Корень
не удовлетворяет условию
, так что это не корень исходного уравнения.

Корень
удовлетворяет условию
, то есть корень исходного уравнения. Проверка также покажет это:

Отвечать:
.

Пример 4. Решить уравнение |x2 − 3x| = 0

Решение

Если модуль числа равен нулю, выражение подмодуля также равно нулю:

Это означает, что вы не можете открыть модуль. Достаточно выяснить, при каких значениях x выражение подмодуля равно нулю. В данном случае для этого нужно решить неполное квадратное уравнение:

Получил корни 0 и 3. Оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Проверка показывает следующее:

Пример 5. Решить уравнение x2 − 5|x| + 6 = 0

Напишем модуль |x| отдельно и разверните его:

Развернув модуль |x| со знаком плюс исходное уравнение принимает вид x2 − 5x + 6 = 0. Это квадратное уравнение. Решим с помощью дискриминанта:

Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0, что означает, что они являются корнями исходного уравнения.

Развернув модуль |x| со знаком минус исходное уравнение будет иметь вид х2+5х+6=0. Это тоже квадратное уравнение. Давайте решим его, как и предыдущий:

При условии x ≥ 0 модуль из уравнения был разложен на плюс, корни 3 и 2. Оба корня удовлетворяют условию x ≥ 0, а значит, удовлетворяют и исходному уравнению.

При условии x < 0 модуль из уравнения разлагается на минус, а корни равны −2 и −3. Оба корня удовлетворяют условию x < 0, что означает, что они также удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: 3, 2, -2 и -3.

Сведéние уравнения с модулем в совокупность

Большинство элементарных уравнений с модулем можно решить, сведя их к так называемой системе уравнений.

Элементарными уравнениями будем называть те уравнения с модулем, где левая часть — модуль выражения, а правая — число. Например |х| = 3 или |2x − 1| = 3.

Давайте решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5, сведя его к системе уравнений. Корнями этого уравнения были числа 7 и −3. Это уравнение также считается элементарным.

Если разложить модуль |x − 2| со знаком плюс, то уравнение |x − 2| = 5 становится х — 2 = 5.

Если разложить модуль |x − 2| со знаком минус, то уравнение |x − 2| = 5 становится −(x − 2) = 5, т е. −x + 2 = 5.

Мы видим это из уравнения |x − 2| = 5 были получены два уравнения: x − 2 = 5 и −x + 2 = 5. При этом каждое из уравнений имеет свой корень. Уравнение x − 2 = 5 имеет корень 7, а уравнение −x + 2 = 5 имеет корень −3

Запишем уравнения x − 2 = 5 и −x + 2 = 5 и объединим их квадратной скобкой:

Этот тип записи называется набором уравнений.

Система уравнений – это несколько уравнений, соединенных квадратной скобкой и имеющих набор решений, удовлетворяющих хотя бы одному из уравнений, входящих в этот набор.

Таким образом, число 7 является решением множества
потому что это число удовлетворяет первому уравнению x — 2 = 5.

Число -3 также является решением этого множества, так как оно удовлетворяет второму уравнению -x + 2 = 5.

Вместе числа 7 и −3 образуют множество решений для этого множества.

В отличие от системы уравнений, система состоит из набора уравнений, независимых друг от друга. Для каждого уравнения, входящего в набор, значение переменной x будет разным. А в системе уравнений значение переменной x удовлетворяет и первому уравнению, и второму.

решение набора уравнений означает нахождение набора решений, удовлетворяющих хотя бы одному из уравнений, входящих в этот набор.

Решите каждую систему уравнений
в отдельности. Это обычные линейные уравнения, которые можно легко решить:

Символ ⇔, как упоминалось ранее, означает эквивалентность. В этом случае он указывает, что все полученные агрегаты эквивалентны друг другу.

Итак, мы получили корни 7 и -3. Поскольку эти два числа являются решениями для населения
, то они также являются решениями уравнения |x − 2| = 5.

Исходная совокупность может включать условия, при которых модуль был опубликован. При этом каждое уравнение вместе со своим условием обрамляется знаком системы.

Дополним предыдущий набор условий, по которым открывался модуль. К первому уравнению x − 2 = 5 добавим условие x − 2 ≥ 0, а ко второму уравнению −x + 2 = 5 добавим условие x − 2 < 0

Решение каждого уравнения должно удовлетворять его условию. Поэтому условия и уравнения обрамляются знаками системы.

Решим полученный набор условий. Соотношения — это неравенства, которые также могут быть решены:

В первом случае мы получили корень 7, удовлетворяющий условию x ⩾ 2. Во втором случае мы получили корень −3, удовлетворяющий условию x < 2.

Не стоит бояться таких постов. Это просто подробное решение, показывающее, откуда оно взялось. Чаще всего решение можно записать короче.

Это схема приведения уравнений вида |x| = а. Эта схема выглядит так:

Такая компоновка позволяет легко сократить уравнение с модулем агрегата. Эту установку можно прочитать так: «Если выражение |x| равно a, то выражение подмодуля равно a или −a»

Квадратная скобка в наборе заменяет слово «или».

Например, уравнение |x| = 5 можно резюмировать следующим образом: если выражение |x| равно 5, то выражение подмодуля равно 5 или −5.

А по отношению к нашему предыдущему примеру мы можем рассуждать следующим образом: если |x − 2| равно 5, то выражение подмодуля равно 5 или −5

Это тот же набор, что и в прошлый раз. Подтвердите это, умножив обе части второго уравнения на -1.

В уравнениях, где модуль слева, а число справа, мы будем чаще использовать именно такой способ записи населения. Он не позволяет прибегать к правилу разложения по модулю, а сразу получить коллекцию.

Но мы должны помнить, что эта установка будет работать только для уравнений вида |x| = а. То есть для уравнений, у которых модуль слева и число справа.

Пример 2. Решить уравнение |2x − 1| = 3

Решение

Это уравнение имеет модуль слева и число справа. Таким образом, это можно обобщить, используя схему

Если выражение |2x − 1| равно 3, то выражение подмодуля 2x − 1 равно 3 или −3

Теперь решим каждое уравнение совокупности отдельно:

Ответ: 2 и -1.

Пример 3. Решить уравнение |x + 2| − 3 = 8

Решение

В некоторых случаях, прежде чем сводить исходное уравнение к целому, его следует упростить.

Итак, в этом случае −3 следует сдвинуть вправо, изменив знак:

Мы получили уравнение |x + 2| = 11. Если выражение |x + 2| равен 11, то подмодуль x + 2 равен 11 или −11

Решим этот набор:

Ответ: 9 и -13.

Пример 4. Решить уравнение 4|x| + 4 = 2|х| +10

Решение

Переместить 2|х| с правой стороны на левую и переместите 4 с левой стороны на правую:

4|х| − 2|х| = 10 — 4
2|х| = 6

Разделим обе части полученного уравнения на 2. Тогда получим простое уравнение с модулем:

Ответ: 3 и -3.

Пример 5. Решить уравнение

Решение

Если выражение |2 − 5×2| равно 3, то выражение подмодуля равно 2 − 5×2 3 или −3

В обоих уравнениях мы сдвигаем 2 вправо, меняя знак:

В первом уравнении разделите обе части на −5. Во втором уравнении мы также делим обе части на −5. Тогда мы получим два квадратных уравнения

Первое уравнение не имеет корней, потому что квадрат любого числа положителен, а в данном случае он равен отрицательному числу. Корнями второго уравнения являются числа 1 и −1, так как вторая степень этих чисел равна единице.

Ответ: 1 и -1.

Пример 6. Решить уравнение |x + 6| +4x=5

Решение

Это уравнение не является уравнением вида |x| = a, то использовать схему будет невозможно
.

Чтобы свести это уравнение к набору, сначала откройте модуль, затем запишите набор полученных уравнений.

Развернуть модуль |x + 6|

Если x + 6 ≥ 0, модуль будет расширен знаком плюс, и тогда исходное уравнение будет иметь вид x + 6 + 4x = 5

Если x + 6 < 0, модуль будет расширен со знаком минус и тогда исходное уравнение будет иметь вид −x − 6 + 4x = 5. Получим следующий набор:

Дальнейшее решение элементарно:

Из найденных корней
является корнем исходного уравнения, так как удовлетворяет условию x ≥ −6. И корень
не является корнем уравнения, так как не удовлетворяет условию x < −6.

Отвечать:

Наиболее простой вид

Простейшая форма уравнения с модулем выглядит так:

| х | = а

где x — корень уравнения, a — любое число, большее или равное нулю. То есть а ≥ 0

Если условие a ≥ 0 не выполняется, уравнение |x|= a не имеет корней. Это следует из определения модуля. На самом деле модуль всегда неотрицательный.

Приведем несколько примеров уравнений вида |x| = а

Пример 1. Решить уравнение |x| = 2

Решение

В этом случае сразу видно, что корнями являются числа 2 и −2. Ведь если вместо x подставить эти числа, то получится правильное равенство: |−2| = 2 и |2| = 2. Решение этого уравнения можно записать, сводя его к целому:

«Если выражение |x| равно 2, то подмодуль x равен 2 или −2«

Ответ: 2 и -2

Пример 2. Решить уравнение |−x| = 4

Решение

Если выражение |−x| равно 4, то выражение подмодуля равно 4 или −4

Умножьте оба уравнения на −1

Ответ: -4 и 4.

Пример 3. Решить уравнение |x| = −7

В этом случае корней нет, так как модуль всегда неотрицательный. И в этом случае модуль равен отрицательному числу.

Если уравнение по модулю не имеет корней, обычно пишут, что x принадлежит пустому множеству:

х ∈ ø

Помните, что множество, не имеющее элементов, называется пустым.

Когда решение — числовой промежуток

Часто приходится решать уравнения с модулем, где корнями являются не одно или два числа, а числовой интервал. Например, это уравнение:

|5x + 3| = -5x — 3

Разложим модуль этого уравнения:

Если разложить модуль со знаком плюс, то получится уравнение 5x + 3 = −5x − 3. Решим его:

А если разложить модуль со знаком минус, то получится уравнение -5х — 3 = -5х — 3. В этом уравнении обе части равны, значит, это равенство есть тождество. Это будет верно для любого значения x. Таким образом, корнями уравнения -5x — 3 = -5x — 3 являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности:

х ∈ (−∞; +∞)

Но мы должны помнить, в каких условиях были опубликованы модули. В первом случае мы получили рут
. Это будет верно только в том случае, если
. Это условие выполнено. Проверка также показывает, что рут подходит:

Значит, один из корней уравнений равен

Во втором случае мы получили набор корней от минус бесконечности до плюс бесконечности. Но это будет верно только в том случае, если

Например, если взять любое число из интервала (−∞; +∞), но не удовлетворяющее условию
, то это число не сделает наше уравнение истинным равенством.

Например, число 2 принадлежит интервалу (−∞; +∞), но не удовлетворяет условию
, что означает, что число 2 не является корнем исходного уравнения. Проверка также покажет это:

А если, например, взять число −5, то оно будет принадлежать интервалу (−∞; +∞) и удовлетворять условию
, что означает, что это сделает исходное уравнение правильным равенством:

Поэтому ответ нужно записать так, чтобы выполнялись оба условия
и
. Для наглядности проведем координатную линию и обозначим ее как x

Отмечаем на нем наш первый корень

Открыв модуль со знаком минус и решив полученное уравнение, мы получили в качестве ответа множество всех чисел от минус бесконечности до плюс бесконечности, но при этом было задано условие
. Таким образом, более точным ответом в данном случае будет:

Корни уравнения −5x − 3 = −5x − 3 при условии
это все числа от минус бесконечности до

Затем на координатной линии нужно заштриховать область слева от числа
. Они будут иллюстрировать числа меньше, чем

Число
также является истинным корнем исходного уравнения. Это было достигнуто путем расширения модуля со знаком плюс. Поэтому пустой кружок нужно закрасить на координатной линии. Итак, мы набираем номер
во множество решений:

Тогда окончательный ответ будет выглядеть так:

Отвечать:

Также можно решить это уравнение, приведя его к интегралу, и дополнительно указав, что правая часть должна быть больше или равна нулю:

Пример 2. Решить уравнение |2x − 3| = 3 — 2х

Решение

Решим исходное уравнение для случаев, когда 2x − 3 ≥ 0 и 2x − 3 < 0

Отвечать:

Использование координатной прямой

Рассмотрим еще один способ решения элементарных уравнений с модулем — с помощью координатной прямой. Этот метод используется редко, но знать о нем не помешает.

Давайте решим наше самое первое уравнение |x − 2| = 5 с использованием координатной линии. Помните, что корнями этого уравнения были числа 7 и -3.

Модуль — это расстояние от начала координат до точки А. Или расстояние между двумя числами на координатной линии.

Расстояние между двумя числами выражается как разность |x1 − x2|, где x1 — первое число, а x2 — второе число.

Если вы внимательно посмотрите на уравнение |x − 2|= 5, то увидите, что левая часть — это расстояние от x до 2 (или от 2 до x), и это расстояние равно 5. Отметьте число x и число 2 на линии координат

Правая часть уравнения |x − 2|= 5 говорит, что расстояние от x до 2 равно пяти единицам:

Если расстояние от х до 2 равно 5, то расстояние от 2 до х также равно 5. Это позволяет подсчитать пять целых шагов от числа 2 до числа х и, таким образом, найти значение х

Видно, что отсчитав пять шагов влево, мы попали в точку с координатой −3. И это один из найденных нами корней уравнения |x − 2|= 5.

А вот целых пять шагов от цифры 2 можно насчитать не только влево, но и вправо:

Если мы отсчитаем целых пять шагов вправо, то придем к точке с координатой 7. Это также был корень уравнения |x − 2|= 5

Уравнения с несколькими модулями в одной части

Чем больше модулей, тем больше вам придется их открыть и тем больше различных уравнений вы получите. Когда есть один или два модуля, это не сложно. Сложность возникает, когда модулей больше двух. Человек может забыть рассмотреть один из случаев, и окажется, что уравнение решено не полностью.

Давайте решим следующее уравнение:

|х−5| − |х| = 1

Это уравнение имеет два модуля в левой части. Решается расширением модулей. Не будем комментировать решение, а сразу приведем его:

Уравнения такого типа удобнее решать интервальным методом (точнее, интервальным методом). Суть этого метода состоит в том, чтобы разбить координатную прямую на несколько отрезков, а затем решить уравнение на каждом из этих отрезков. Модули исходного уравнения на каждом интервале будут разложены по-разному.

Решаем уравнение |x − 5| − |х| = 1 интервальным методом.

Сначала нарисуем координатную линию и обозначим ее как x

Если координатная линия содержит все числа, встречающиеся в природе, то логично, что в ней находятся и корни нашего уравнения.

Теперь нам нужно разделить координатную линию на отрезки. Для этого нужно сначала найти на нем те точки, где модули в нашем уравнении будут менять порядок разложения. То есть нахождение точек перехода для модулей |x − 5| и |х|.

Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить, при каких значениях x выражения подмодуля равны нулю. Это можно узнать, установив подмодульные выражения обоих модулей равными нулю, и решив обычные линейные уравнения:

Для модуля |x − 5| точка перехода будет равна 5. Для модуля |x| точка перехода будет 0.

Теперь отмечаем точки перехода на координатной линии. Меньшие числа должны быть отмечены слева, большие числа справа:

Нарисуйте дуги из точек перехода:

Обозначим каждый интервал с помощью неравенств. Вы получаете три интервала: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5

Обратите внимание, что в первом диапазоне x < 0 значение 0 не входит в этот диапазон. Но это значение входит во второй интервал 0 ≤ x < 5.

Во втором интервале 0 ≤ x < 5 значение 5 не входит в этот интервал, но входит в третий интервал x ≥ 5.

Проще говоря, каждый пробел включает в себя левый конец и не включает правый конец. Это сделано специально для предотвращения потери значений переменной x. Необходимо описать все значения на координатной прямой с помощью неравенств, не допуская потерь.

Включение левого конца в рассматриваемый интервал и исключение из правого конца является лишь общепринятым правилом. Фактически концы рассматриваемой щели могут входить в любую из соседних щелей. Например, значение 0 может быть включено в первый диапазон. Тогда он имел бы вид x ≤ 0, а второй пробел имел бы вид 0 < x < 5, так как в первый пробел уже входил ноль.

Но лучше всего двигаться дальше от ситуации, потому что в некоторых случаях правильнее исключить левый конец интервала из рассматриваемого интервала и включить его в правый конец соседнего интервала. Мы поговорим об этом позже.

Теперь выясним, как модули |x − 5| и |х| в каждом из этих интервалов. Это будет зависеть от того, как они будут раскрыты.

Начнем с первого интервала x < 0.

Если x < 0, то для любого значения xi этого интервала выражение подмодуля x − 5 становится отрицательным, и, таким образом, модуль |x − 5| на интервале x < 0 будет расширен со знаком минус. Второй модуль |x| на интервале x < 0 также будет расширено со знаком минус.

В результате после разложения модулей на интервале x < 0 уравнение с модулем |x − 5| − |х| = 1 становится -(х — 5) + х = 1

Второй модуль |x| на промежутке x < 0 открылся с минусом. В уравнении |x − 5 |− |x| = 1 выражением |x − 5| тоже был минус. В математике два минуса подряд дают плюс. Таким образом, получается выражение −(x − 5) + x = 1.

Решаем уравнение −(x − 5) + x = 1, которое получается после разложения модулей на интервале x < 0

Это уравнение не имеет решений. Это означает, что на интервале x < 0 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом меньше нуля.

Следующим интервалом, который вам нужно решить, является интервал 0 ≤ x < 5.

Если x больше или равен нулю, но меньше пяти, выражение подмодуля x − 5 становится отрицательным, и, таким образом, модуль |x − 5| на интервале 0 ≤ x < 5 будет расширено со знаком минус. Второй модуль |x| на интервале 0 ≤ x < 5 будет расширен на плюс.

В результате после разложения модулей на интервале 0 ≤ x < 5 уравнение с модулем |x − 5| − |х| = 1 имеет вид −(x − 5) − x = 1

Давайте решим это уравнение:

Мы получили корень 2. Чтобы проверить, действительно ли это число является корнем исходного уравнения, нужно посмотреть, принадлежит ли это число рассматриваемому интервалу 0 ≤ x < 5. Принадлежит ли? Да. Таким образом, число 2 является корнем уравнения |x − 5| − |х| = 1. Проверка также показывает это:

Следующим пробелом, который необходимо рассмотреть, является x ≥ 5.

Если x больше или равен пяти, то модуль |x − 5| на интервале x ≥ 5 будет расширен со знаком плюс. Второй модуль |x| на отрезке x ​​≥ 5 также будет расширен на плюс.

В результате после разложения модулей на интервале x ≥ 5 уравнение с модулем |x − 5| − |х| = 1 имеет вид x − 5 − x = 1.

Давайте решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений. Это означает, что на интервале x ≥ 5 исходное уравнение не имеет корней. Проще говоря, корень уравнения не является числом больше или равным пяти.

В результате корнем уравнения является число 2, которое мы нашли, решая исходное уравнение на интервале 0 ≤ x < 5.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение |x − 3| + |х + 2| = 7

Решение

Шаг 1. Найдите точки перехода для модулей |x − 3| и |х + 2|

Шаг 2. Отметьте найденные точки перехода на координатной линии и выберите получившиеся отверстия:

Шаг 3. Решим исходное уравнение на каждом интервале. Для этого посмотрим, как модули |x − 3| и |х + 2| с этими интервалами.

На интервале x < −2 модуль |x − 3| откроется с минусом. Вы можете проверить это, подставив в этот модуль любое число из интервала x < −2. Например числа -4 или -9

|х — 3| = |−4 − 3| = |−7| = -(-7) = 7

|х — 3| = |−9 − 3| =|−12| = -(-12) = 12

Следующий модуль |x + 2| на интервале x < −2 также будет расширено на минус. Убедимся в этом, подставив в выражение подмодуля два произвольных числа из интервала x < −2. Например числа -6 и -8

|х + 2| = |−6 + 2| = |−4| = -(-4) = 4

|х + 2| = |−8 + 2| = |−6| = -(-6) = 6

Следовательно, после разложения модулей на интервале x < −2 исходное уравнение будет |x − 3| + |х + 2| = 7 имеет следующий вид:

-х + 3 — х — 2 = 7

Давайте решим это:

Важно проверить, входит ли найденный корень −3 в рассматриваемый интервал x < −2. Для этого нужно подставить найденный корень −3 в неравенство x < −2 и проверить его правильность. В этом случае верно неравенство −3 < −2, что означает, что корень −3 входит в интервал x < −2 и, следовательно, является корнем исходного уравнения.

На следующем интервале −2 ≤ x < 3 модуль |x − 3| будет расширен на минус, а по модулю |x + 2| откроется с плюсом.

Следовательно, после разложения модулей на интервале −2 ≤ x < 3 исходное уравнение |x − 3| + |х + 2| = 7 имеет следующий вид:

−х + 3 + х + 2 = 7

Давайте решим это уравнение:

Это уравнение не имеет решений, а значит, на интервале −2 ≤ x < 3 исходное уравнение также не имеет решений (корней).

Наконец, рассмотрим интервал x ≥ 3

На интервале x ⩾ 3 модуль |x − 3| откроется с плюсом. Модуль|х + 2| также откроется с плюсом. Следовательно, на интервале x ≥ 3 исходное уравнение |x − 3| + |х + 2| = 7 имеет следующий вид:

х — 3 + х + 2 = 7

Давайте решим это уравнение:

Этот корень входит в рассматриваемый интервал x ≥ 3, а значит, является корнем исходного уравнения. Проверка также показывает это:

Ответ: -3 и 4.

Пример 3. Решить уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16

Решение

Найдите точки перехода для модулей |2x − 3| и |2x + 7|

Обратите внимание на точки перехода на линии координат. Меньшие числа должны быть отмечены слева, большие справа:

Решаем исходное уравнение |2x − 3| + |2x + 7| = 16 на отрезке
. Оба модуля на этом интервале открываются с минусом:

Корень -5 принадлежит интервалу
, то есть корень исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на отрезке
. Модуль |2x − 3| на этом интервале расширяется в минус, а модуль |2x + 7| — Плюс:

Мы видим, что исходное уравнение не имеет решений (корней) на отрезке).

Теперь решим исходное уравнение на отрезке
. Оба модуля на этом интервале раскрываются с плюсом:

Корень 3 принадлежит интервалу
, то есть корень исходного уравнения.

Ответ: -5 и 3.

Пример 4. Решить уравнение |x − 2| + 3х = |х — 5| − 18

Решение

Найдите точки перехода для модулей |x − 2| и |х — 5|

Обратите внимание на точки перехода на линии координат:

Решим исходное уравнение на интервале x < 2. Модулируем |x − 2| и |х — 5| на этом интервале раскрывается минусом:

Число −5 принадлежит интервалу x < 2, что означает, что оно является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на интервале 2 ≤ x < 5. По модулю |x − 2| расширяется плюсом на этом интервале, а модуль |x − 5| — с минусом:

Число
не принадлежит интервалу 2 ≤ x < 5, а значит, не является корнем исходного уравнения.

Решим исходное уравнение на интервале x ≥ 5. Модулируем |x − 2| и |х — 5| на этом интервале выявится с плюсом:

Число −7 не принадлежит интервалу x ≥ 5, а значит, не является корнем исходного уравнения.

Ответ: -5

Пример 5. Решить уравнение |x| + | х — 7 | + 2|х – 4| = 2

Решение

Найдем точки перехода для модулей |x|, |x − 7| и |х — 4|

Обратите внимание на точки перехода на линии координат:

Исходное уравнение решаем на интервале x < 0. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |х — 4| на этом интервале раскрывается минусом:

Число
не принадлежит интервалу x < 0, а значит, не является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на интервале 0 ≤ x < 4. Модуль |x| разлагается с плюсом на этом интервале, а модули |x − 7| и |х — 4| — с минусом:

Число
не принадлежит интервалу 0 ≤ x < 4, а значит, не является корнем исходного уравнения.

Теперь решим исходное уравнение на интервале 4 ≤ x < 7. Модуль |x| на этом интервале открывается плюсом; модуль | х — 7 | — с минусом; модуль | х — 4 | — Плюс:

Число
не принадлежит интервалу 4 ≤ x < 7, а значит, не является корнем исходного уравнения.

Исходное уравнение решаем на интервале x ≥ 7. Все три модуля: |x|, |x − 7| и |х — 4| на этом интервале раскрывается с плюсом:

Число
не принадлежит интервалу x ≥ 7, а значит, не является корнем исходного уравнения.

После решения исходного уравнения на каждом интервале мы не нашли корней, удовлетворяющих этому уравнению. Значит, это уравнение не имеет корней.

В ответе можно написать словами, что корней нет (или решений нет), а можно указать символ пустого множества. Этот символ будет означать, что множество корней уравнения |x| + | х — 7 | + 2|х – 4| = 2 пусто.

Ответ: ø.

Пример 6. Решить уравнение

Решение

Найдите точки перехода для модулей
и

Если интервальным методом решается уравнение с модулем, который в свою очередь содержит внутри другой модуль, то точки перехода необходимо искать для случаев: когда внутренний модуль открывается плюсом, а когда он открывается минусом. Точки перехода будут меняться в зависимости от этих случаев. Посмотрим, как пойдет.

Если модуль
внутренний модуль будет расширен на плюс, т е если 2x − 1 ≥ 0 (что соответствует
), то исходное уравнение имеет вид |2x − 1 − 5| + х = |6 — х|. Здесь и далее следует учитывать, что внутренний модуль будет расширяться на плюс для тех значений x, которые больше или равны
. Отметьте эту точку на координатной линии.

Теперь найдем точки перехода. Поскольку исходное уравнение имело вид |2x − 1 − 5| + x = |6 − x|, то необходимо найти точки перехода для модулей |2x − 1 − 5| и |6 − х|.

Для модуля |2x − 1 − 5| точкой перехода будет число 3, а для модуля |6 − x| — число 6. Отметим эти числа на той же координатной линии, где мы отметили точку

Теперь нас интересуют только те значения x, которые удовлетворяют условию
, так как только при этом условии внутренний модуль исходного уравнения раскрывается плюсом. Поэтому подумайте об интервале
мы не хотим. Рассмотрим интервалы, в которых x удовлетворяет условию

Первый интервал, на котором будем решать уравнение, будет
. На нем модуль равен |2x − 1 − 5| расширяется по минусу, а модуль |6 − x| Плюс:

Имеем тождество — равенство верно при любом значении x. В этом случае решением исходного уравнения является любое число из интервала
. Любое число из этого интервала также удовлетворяет условию

Теперь решим исходное уравнение на отрезке 3 ≤ x < 6. Оба модуля на этом отрезке разложим по плюсу. Затем:

Корень 3 принадлежит рассматриваемому интервалу. Этот корень также удовлетворяет условию
, согласно которому внутренний модуль исходного уравнения расширяется на плюс.

Теперь решим исходное уравнение на интервале x ≥ 6. На этом интервале модуль равен |2x − 1 − 5| расширяется плюсом, а модуль |6 − x| с минусом. Затем:

Корень 0 не удовлетворяет условию x ≥ 6, а это означает, что исходное уравнение не имеет корней на этом интервале.

Итак, если внутренний модуль уравнения
открывается плюсом, то решения уравнения таковы: интервал
, а также число 3. Запишем эти решения одним интервалом:

Теперь решим исходное уравнение для случая, когда внутренний модуль открывается на минус. То есть при 2x − 1 < 0 (что соответствует неравенству
). В этом случае исходное уравнение будет иметь вид:

|−2x + 1 − 5| + х = |6 — х|

Отметить точку
на линии координат.

Нас будут интересовать те значения x, которые расположены слева от
. Это значения, при которых внутренний модуль исходного уравнения расширяется на минус.

Найдем точки перехода для модулей |−2x + 1 − 5| и |6 − х|. Для первого модуля это число равно −2, для второго модуля число 6

Мы будем рассматривать только интервалы, расположенные слева от
. Только у них внутренний модуль исходного уравнения раскрывается минусом

Решим уравнение на интервале x < −2. На этом интервале оба модуля открываются плюсом. Затем:

Это уравнение не имеет решений. Следовательно, на интервале x < −2 исходное уравнение не имеет корней.

Теперь решим уравнение на отрезке
. Обратите внимание, что когда левый конец этого интервала (число −2) заменяется модулем |−2x + 1 − 5| этот модуль расширяется плюсом, а для других значений интервала
модуль |−2x + 1 − 5| открывается с минусом.

Поэтому имеет смысл включить число −2 в интервал x < −2, который мы уже рассмотрели. На промежутке x < −2 модуль расширился на плюс, и при включении в этот интервал числа −2 он также будет расширен на плюс.

Между
модуль |−2x + 1 − 5| расширяется по минусу, а модуль |6 − x| с плюсом. Затем:

Получить рут, не удовлетворяющий условию
. Несмотря на эту цифру
является корнем исходного уравнения, потому что мы получили его, когда решили уравнение для случая 2x − 1 ≥ 0.

Задания для самостоятельного решения

Примечание. Решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, подчеркнуты красным.

Задача 1. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: x ∈ −5 ; 3. Показать решение Упражнение 2. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: x ∈ </a>3 ; +∞). Показать решение Упражнение 3. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: нет корней. Показать решение Упражнение 4. Решить уравнение:
Решение:
Отвечать:
, 0. Показать решение Упражнение 5. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: -5. Показать решение Упражнение 6. Решить уравнение:
Решение:
Ответ: −4, 2. Покажите решение. Упражнение 7. Решите уравнение:
Решение:
Отвечать:
,