Сложение и вычитание десятичных дробей — как правильно?

Понятие десятичной дроби

Прежде чем мы перейдем к тому, как складывать и вычитать десятичные дроби, давайте рассмотрим основные определения, виды дробей и разницу между ними.

Дробь — это число в математике, где a и b — числа или выражения. На самом деле это только одна из форм, в которой может быть представлено число.Существует два формата записи:

• обычный дисплей — 1/2 или a/b,
• десятичная форма — 0,5.

В правильной дроби над чертой принято писать делимое, которое становится числителем, а под чертой всегда стоит делитель, который называется знаменателем. Линия между числителем и знаменателем означает деление.

В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т д. По сути, десятичная дробь — это то, что получается при делении числителя на знаменатель. Оно пишется в строке через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Как это:

• 0,8
• 7,42
• 9932

Конечный десятичный знак — это когда количество цифр после запятой точно определено.

Бесконечное десятичное число — это когда количество цифр после запятой бесконечно. Для удобства математики договорились округлить эти числа до 1-3 после запятой.

Свойства десятичных дробей

Основное свойство десятичной дроби заключается в следующем: если к десятичной дроби справа добавить один или несколько нулей, значение не изменится. Это означает, что если в вашей дроби много нулей, вы можете их просто отбросить. Например:

• 0,600 = 0,6
• 21.10200000 = 21.102

Обычные и десятичные дроби — старые друзья. Вот как они связаны:

• Целая часть десятичной дроби равна целой части смешанной дроби. Если числитель меньше знаменателя, целая часть равна нулю.
• Дробная часть десятичной дроби содержит те же цифры, что и числитель этой же дроби в правильной форме, если знаменатель правильной дроби равен 10, 100, 1000 и т д
• Количество цифр после запятой зависит от количества нулей в знаменателе обыкновенной дроби, если знаменатель обыкновенной дроби равен 10, 100, 1000 и т д. То есть 1 цифра является делителем 10, 4 цифры — это делитель 10000.

Сложение десятичных дробей

Мы знаем, что десятичная дробь состоит из целого числа и дроби. Добавляя десятичные дроби, добавляйте каждую часть отдельно.

Рассмотрим пример добавления 3.2 и 5.3. Для простоты воспользуемся столбцовым методом.

Запишем эти две дроби в столбик. При этом целая часть одной дроби должна быть меньше целой части другой. В школе это называется «запятая под запятой». Как это:

Складываем дроби: 2+3=5. Запишем пятерку в дроби ответа:

Теперь целые части равны: 3 + 5 = 8. Запишем число восемь в целой части ответа:

Целую часть от дробной отделить запятой так, чтобы запятая была ниже запятой:

Мы получили ответ: 3,2 + 5,3 = 8,5.

Читайте также: Таблица квадратов натуральных чисел от 1 до 99

Способы, описание алгоритмов

Десятичные числа добавляются несколькими способами. Наиболее важными являются:

1. Привести десятичные дроби к обыкновенным дробям и вычислить их сумму.
2. Добавление столбца.

Алгоритм сложения десятичных дробей путем преобразования в обычные:

• сравнить количество знаков после запятой в десятичных дробях;
• при одинаковом количестве знаков необходимо преобразовать десятичные дроби в обычные и выполнить их сложение;
• при другом количестве знаков число уравнивается добавлением необходимого количества нулей к десятичной дроби справа.

Пример 3

Предположим, у нас есть десятичные числа для добавления:

3.1 и 4.7

Обратите внимание, что количество знаков после запятой у дробей не отличается. В этом случае нужно перевести их в обыкновенные дроби и найти сумму:

3,1=3110

4,7=4710

3,1+4,7=3110+4710=31+4710=7810=7,8

Пример 4

Найдите сумму двух знаков после запятой:

3,45 и 7,368

Обратите внимание, что количество знаков после запятой в дробях разное. Поэтому необходимо их выравнивать. Добавим ноль к числу 3,45 справа. Таким образом:

3,45=34501000

7,368=73681000

3,45+7,368=3,450+7,368=34501000+73681000=3450+73681000=108181000=10,818

Добавление десятичных дробей в столбец:

1. Запишите числа в столбик так, чтобы цифры одинаковых цифр располагались друг под другом. Запятые должны быть расставлены одинаково, то есть одна под другой.
2. Если количество знаков после запятой у дробей разное, добавьте нули к дроби с наименьшим количеством знаков после запятой.
3. Сложите дроби без запятых.
4. Добавьте запятую к сумме так, чтобы эта запятая ставилась ниже запятых терминов.

Предположим, вы хотите найти сумму независимых чисел:

3.1 и 4.7

По стандартному алгоритму выполним сложение столбцов:

Добавим числа:

3,45 и 7,368

После прибавления нуля к первой десятичной дроби в конце записываем слагаемые в столбик:

Правило 1

При добавлении десятичной дроби к натуральному числу необходимо прибавить к данному натуральному числу целую часть десятичной дроби. Дробь не меняется.

Пример 4

Рассмотрим пример, когда вы хотите добавить числа:

14.3 и 29

Можно упростить задачу, представив натуральное число в виде десятичной дроби. В процессе нужно поставить запятую после цифры единиц и добавить после нее необходимое количество нулей. Затем дроби складываются в столбик:

Правило 2

При сложении десятичных дробей с обыкновенной дробью необходимо преобразовать десятичную дробь к виду обыкновенной дроби и найти сумму.

Пример 4

Предположим, что есть две дроби, сумму которых нужно найти:

0,28 и 13

Преобразуем десятичную дробь в обычную:

28100=28÷4100÷4=725

Тогда вы можете найти сумму дробей:

0,28+13=725+13=2175+2575=21+25754675

Разряды в десятичных дробях

Десятичные дроби имеют свои цифры:

• десятые места;
• сотые;
• тысячные цифры.

Начало цифр совпадает с запятой. Они идут за ней. Первая цифра после запятой соответствует десятым разрядам, вторая – сотням, а третья – тысячам.

С помощью цифр можно получить информацию о дроби. Например, определить количество десятых, сотых и тысячных долей в десятичной дроби.

В качестве примера рассмотрим десятичную дробь 0,345:

В итоге можно сделать вывод, что десятичная дробь 0,345 имеет три десятых от 310, четыре сотых от 4100 и пять тысячных от 51000:

310+4100+51000=0,345

Правило сложения десятичных дробей

Вы находите сумму десятичных дробей, складывая их в столбик. Процедура следующая:

1. Одноименные цифры пишем друг под другом: десятые под десятыми, сотые под сотыми, тысячные под тысячными и так далее

Примечание: При необходимости (если количество знаков после запятой у суммируемых дробей разное) в конец «более короткой» дроби с меньшим числом знаков после запятой добавить нули для выравнивания ее с более длинной. По основному свойству десятичной дроби это никак не повлияет на значение. Когда процесс доводится до автоматизации, нули можно просто держать в уме.

2. Десятичные разделители (запятые) также должны стоять строго друг под другом.

Примеры неправильной записи терминов:

Примеры правильного обозначения терминов:

3. Мы складываем дроби так, как будто имеем дело с целыми натуральными числами. Они не учитывают запятые.

4. В полученном результате ставим запятую ровно на то же место, где она стояла в суммируемых дробях.

Сумма десятичной дроби и целого натурального числа

Если вы хотите прибавить к десятичной дроби целое натуральное число, то в конце последней ставим запятую, после которой прибавляем столько нулей, сколько цифр в дробной части десятичной дроби. Затем вычисляем сумму слагаемых.

Сложение десятичных и обыкновенных дробей

Чтобы найти сумму десятичной и обыкновенной дробей, переводим последнюю в десятичную. После этого выполняем сложение.

Можно сделать наоборот — преобразовать десятичную дробь в обычную. В этом случае мы уже складываем обыкновенные дроби.

Сложение путём перевода в обыкновенные дроби

При сложении десятичных дробей путем преобразования их в правильные дроби следует придерживаться следующего правила:

1. Вы должны сравнить количество знаков после запятой для десятичных дробей.
2. Если количество знаков после запятой одинаковое, переводим десятичные дроби в правильные дроби и складываем их вместе.
3. Если количество знаков после запятой отличается, сначала уравнивают число, добавляя нужное количество нулей справа от десятичной дроби с меньшим количеством цифр.

Пример 1. Складываем числа 3.1 и 4.7.

Решение. Так как количество знаков после запятой одинаковое, мы просто переводим десятичные дроби в правильные дроби и складываем их вместе. Десятичная дробь 3.1 соответствует обыкновенной дроби 
, а десятичная дробь 4.7 — обыкновенная дробь 
, Фонды:

Пример 2. Складываем числа 3,45 и 7,368.

Решение. Так как количество знаков после запятой разное, сначала уравняем число, приписав цифру 0 справа от дроби 3,45. Десятичная дробь 3.450 соответствует обыкновенной дроби 
, а десятичная дробь 7,368 — обыкновенная дробь 
, Фонды:

Сложение десятичных дробей столбиком

Десятичные дроби могут быть добавлены в столбец.

При сложении десятичных дробей в столбец следует придерживаться следующего правила:

1. Запишите десятичные дроби в столбик так, чтобы цифры одинаковых цифр были ниже друг друга. Запятые для десятичных дробей также должны быть расположены друг под другом.
2. Если количество знаков после запятой у дробей разное, для удобства можно выровнять число, добавив необходимое количество нулей справа от десятичной дроби с меньшим количеством знаков после запятой.
3. Не обращайте внимания на запятые, выполняйте сложение так же, как сложение столбца натуральных чисел.
4. В полученном количестве поставьте запятую так, чтобы она была ниже запятых слагаемых.

Пример 1. Складываем числа 3.1 и 4.7.

Решение. Выполняем сложение так же, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел, без учета запятых:

Пример 2. Складываем 3,45 и 7,368.

Решение. Мы выполняем сложение так же, как выполняется сложение столбиком натуральных чисел. Для удобства можно выровнять количество знаков после запятой в прибавляемых дробях:

Сложение десятичной дроби с натуральным числом

Правило сложения десятичных дробей с натуральными числами:

Чтобы сложить десятичную дробь и натуральное число, прибавьте это натуральное число к целой части десятичной дроби, оставив дробную часть без изменений.

Пример. Вычислите сумму 14,3 и 29.

Решение. Для удобства любое натуральное число можно представить в виде десятичной дроби. Для этого нужно поставить запятую после истечения единиц и прописать после запятой необходимое количество нулей. Сложение выполняется по правилу сложения десятичных дробей в столбик:

Сложение десятичной дроби с обыкновенной дробью

Правило добавления десятичных знаков к обыкновенным дробям:

прибавление десятичной дроби к обыкновенной дроби аналогично прибавлению обыкновенной дроби. Для этого десятичную дробь преобразуют в обыкновенную дробь.

Пример. Выполнить сложение десятичной дроби 0,28 и обыкновенной дроби 
.

Решение. Переведем десятичную дробь 0,28 в обычную: 
. А затем выполняем сложение обыкновенных дробей 
и 
:

Примеры

Найдем сумму десятичных дробей, рассмотренных выше:

Примечание: если сумма десятичных знаков в дробной части результата больше 10, то запоминаем единицу и переносим ее в целую часть.

И, наконец, вычисляем сумму десятичной дроби и целого числа:

Вычитание десятичных дробей

Процесс вычитания десятичных дробей очень похож на сложение. Мы будем использовать те же правила: «запятая под запятой» и «равное количество цифр после запятой».

Пример 1. Найти значение выражения 2,5 − 2,2

Запишем выражение столбиком так, чтобы запятая была ниже запятой:

Вычислите дробь 5 − 2 = 3. Запишите тройку в десятой части ответа:

Вычислите целую часть 2 − 2 = 0. Запишите ноль в целой части ответа:

Целую часть от дробной отделить запятой:

Вот ответ: 2,5 — 2,2 = 0,3.

Пример 2 Расчет: 7,353 — 3,1

В этом выражении разное количество знаков после запятой: в 7.353 после запятой три цифры, а в 3.1 только одна. Так в дроби 3.1 в конце добавляем два нуля, чтобы уравнять количество цифр в обеих дробях. То есть: 3,1 = 3,100.

Запишем в столбик и посчитаем:

Ответ: 7,353 — 3,1 = 4,253.

Пример 3. Вычислить: 3 − 1,2

В этом примере вам нужно вычесть десятичную дробь из целого числа. Запишем это выражение в столбик так, чтобы целая часть десятичной дроби 1,23 была ниже числа 3. Вот так:

Сделаем количество цифр после запятой одинаковым:

Теперь вычтем десятые: 0 − 2. Вычесть число 2 из нуля невозможно. Поэтому берем единицу из числа рядом с ней. Таким образом, 0 становится числом 10. Считаем десятые доли: 10 — 2 = 8. Запишем восьмерку в десятой части ответа:

Теперь вычтите все части. В самом начале их было 3, но мы позаимствовали один из них, так что их стало два. Следовательно: 2 − 1 = 1. Запишем единицу в целой части ответа:

Целую часть от дробной отделить запятой:

Ответ: 3 — 1,2 = 1,8.

Мы рассмотрели несколько примеров сложения и вычитания десятичных дробей. Для того чтобы каждый ученик 5 и 6 классов повторил эту последовательность, существует специальный алгоритм:

Алгоритм сложения (вычитания) десятичных дробей Уравняйте в дробях количество знаков после запятой. Запишите дроби друг под другом так, чтобы одна запятая была ниже другой запятой. Выполните сложение (вычитание) и игнорируйте запятую. Поставьте запятую под запятой в своем ответе.

Проще говоря, правило сложения (вычитания) десятичных дробей звучит так: чтобы сложить (вычесть) две десятичные дроби, нужно написать их столбиком друг под другом, запятая под запятой. А затем добавить (вычесть) как обычные числа и удалить запятую.