Главная » Вычисления

Таблица интегралов

Вычисления
На чтение 12 мин Просмотров 20 Опубликовано
Содержание
  1. Основные формулы
  2. Общие правила интегрирования функций
  3. Интегралы от рациональных функций
  4. Интегралы от трансцендентных функций
  5. Интегралы от иррациональных функций
  6. Интегралы от тригонометрических функций
  7. Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций
  8. Подстановка t = sin x
  9. Подстановка t = cos x
  10. Интегрирование обратных тригонометрических функций
  11. Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций
  12. Общий подход
  13. Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x
  14. Произведение степенных функций от cos x и sin x
  15. Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса
  16. Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса
  17. Нестандартные методы интегрирования тригонометрических функций
  18. Зависимость от (a sin x + b cos x)
  19. Разложение дроби из синусов и косинусов на более простые дроби
  20. Интегрирование дробей первой степени

Основные формулы

1.
∫ 0 дх = С
2.
∫ a dx = ax + C (a = const)
3.
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C (n ≠ -1)
4.
∫ dxx = лог | х | + С
5.
∫ axdx = axln a + C
6.
∫ ех дх = ех + С
7.
∫ sin x dx = -cos x + C
8.
∫ cos х dx = sinx + C
9.
∫ dxsin2x = -ctg x + C
10.
∫ dxcos2x = tgx + C
одиннадцать.
∫ dxa2 — x2 = arcsin xa + C = -arccos xa + C(x < a)
12.
∫ dxa2 + x2 = 1a arcctg xa + C = -1a arcctg xa + C
1. 3.
∫ dxa2 — x2 = 12a ln x + ax — a + C (|x| ≠ a) — «Старший логарифм»
14.
∫ dxx2 ± a2 = log |x + x2 ± a2|

Общие правила интегрирования функций

∫ cf(x) dx = c ∫ f (х) дх
∫ f(x) + g(x) dx = ∫ f (х) дх + ∫ г(х) дх
∫ f(x) — g(x) dx = ∫ f(x)dx — ∫ г(х) дх
∫ f(x)g(x) dx = f(x) ∫ г(х) дх — ∫∫ г(х) dxdf(х)

Интегралы от рациональных функций

1.
∫ xn dx = xn+1n + 1 + C (n ≠ -1)
2.
∫ (ax + b)n dx = (ax + b)n+1a(n + 1) + C (n ≠ -1)
3.
∫ dxx = лог | х | + С
4.
∫ dxax + b = 1a log |ax + b| + С
5.
∫ ax + bcx + ddx = acx + bc — adc2 ln |cx + d| + С
6.
∫ dx(x + a)(x + b) = 1a — b ln |x + bx + a| + С
7.
∫ dxx2 — a2 = 12a ln |x — ax + a| + С
8.
∫ x dx(x + a)(x + b) = 1a — b (a ln |x + a| — b ln|x + b|) + C
9.
∫ x dxx2 — a2 = 12 ln |x2 — a2| + С
10.
∫ dxx2 + a2 = 1a arctg(xa) + C
11.
∫ х dxx2 + a2 = 12 ln |x2 + a2| + С
12.
∫ dx(x2 + a2)2 = 12a2xx2 + a2 + 12a3 arctg(xa) + C
1. 3.
∫ х dx(x2 + а2)2 = -121×2 + а2 + С
14.
∫ х dx(x2 + a2)3 = -141(x2 + a2)2 + C
15.
∫ dxax2 + bx + c = 1b2 — 4ac ln2ax + b — b2 — 4ac2ax + b + b2 — 4ac + C (b2 — 4ac > 0)
16.
∫ dxax2 + bx + c = 14ac — b2 arctg2ax + b4ac — b2 + C (b2 — 4ac < 0)
17.
∫ x dxax2 + bx + c = 12a ln|ax2 + bx + c| -b2a ∫ dxax2+bx+c
18.
∫ х dxax + b = 1a2(ax + b — b ln |ax + b|) + C
19.
∫ x2dxax + b = 1a3(12(ax + b)2 -2b(ax + b) + b2 ln |ax + b|) + C
20.
∫ dxx(ax + b) = 1b ln ax + bx + C
21.
∫ dxx2(ax + b) = — 1bx + ab2 ln ax + bx + C
22.
∫ x dx(ax + b)2 = 1a2(ln |ax + b | + bax + b) + C
23.
∫ x2dx(ax + b)2 = 1a3(ax + b — 2b log |ax + b | — b2ax + b) + C

Читайте также: Как возвести комплексное число в степень: формула Муавра

Интегралы от трансцендентных функций

1.
∫ ех дх = ех + С
2.
∫ axdx = axln a + C
3.
∫ dxx ln x = ln |ln x| + С
4.
∫ xn ln xdx = xn + 1 (ln xn + 1 — 1 (n + 1) 2) + C
5.
∫ eax ln xdx = eax ln xa — 1a ∫ eaxxdx
6.
∫ xn lnmxdx = xn + 1n + 1 lnmx — mn + 1 ∫ хн пнм — 1хдх
7.
∫ xnlnmxdx = -xn + 1(m — 1) lnm — 1x + n + 1m — 1 ∫ хнлнм — 1xdx
8.
∫ журнал х дх = х журнал х — х + С
9.
∫ arcsin x dx = x arcsin x + 1 — x2 + C
10.
∫ arctan x dx = x arctan x — ln 1 + x2 + C
11.
∫ eax dx = eaxa + C
12.
∫ х eax dx = eaxa2 (ax — 1) + C
1. 3.
∫ axxn dx = ax(n — 1)xn — 1 + ln en — 1 ∫ axxn-1
14.
∫ ш(х) дх = ch(х) + С
15.
∫ ch(x) dx = sh(x) + C

Интегралы от иррациональных функций

1.
∫ dxax + b = 2aax + b + C
2.
∫ ах + bdx = 23a(ax + b)1,5 + C
3.
∫ х dxax + b = 2(ax — 2b)3a2ax + b + C
4.
∫ xax + bdx = 2(3ax — 2b)15a2(ax + b)1,5 + C
5.
∫ dx(x + c)ax + b = 1b — ac lnax + b — b — acax + b + b — ac + C (b — ac > 0)
6.
∫ dx(x + c)ax + b = 1ac — b arctgax + bac — b + C (b — ac < 0)
7.
∫ ax + bcx + ddx = 1c(ax + b)(cx + d) — ad — bccac arctg a(cx + d)c(ax + b) + C
8.
∫ dxxax + b = 1b lnax + b — bax + b + b + C (b > 0)
9.
∫ dxxax + b = 1-b arctgax + bb + C (b < 0)
10.
∫ dxx2ax + b = -ax + bbx — a2b ∫ дххакс+б
11.
∫ топор + bxdx = 2ах + b + b ∫ дххакс+б
12.
∫ a — xb + xdx = (a — x)(b + x) + (a + b)arcsinx + ba — x + C
1. 3.
∫ a + xb — xdx = -(a + x)(b — x) — (a + b)arcsinb — xa + x + C
14.
∫ dxax2 + bx + c = 1a ln|2ax + b + a(ax2 + bx + c)| + С
15.
∫ dxax2 + bx + c = -1a arcsin2ax + bb2 — 4ac + C
16.
∫ ax2 + bx + cdx = 2ax + b4aax2 + bx + c + 4ac — b28a ∫ dxax2+bx+c
17.
∫ x2 + a2dx = x2x2 + a2 + a22 log |x + x2 + a2| + С
18.
∫ x2 — a2dx = x2x2 — a2 — a22 log |x + x2 — a2| + С
19.
∫ dxx2 + a2 = ln|x + x2 + a2)| + С
20.
∫ dxx2 — a2 = ln|x + x2 — a2)| + С
21.
∫ х dxx2 + а2 = х2 + а2 + С
22.
∫ x2 — a2xdx = x2 — a2 + a arcsin(xa) + C
23.
∫ a2 — x2dx = x2a2 — x2 + a22 arcsin(xa) + C
24.
∫ а2 — х2хдх = а2 — х2 + журнал(ха + а2 — х2) + С
25.
∫ dxa2 — x2 = arcsin(xa) + C
26.
∫ х dxa2 — x2 = -a2 — x2 + С
27.
∫ dxxa2 — x2 = 1a log |xa + a2 — x2| + С

Интегралы от тригонометрических функций

1.
∫ грех (х) dx = -cos (х) + С
2.
∫ потому что (х) дх = грех (х) + С
3.
∫ sin2(x)dx = x2 — 14 sin(2x) + C
4.
∫ cos2(x)dx = x2 + 14 sin(2x) + C
5.
∫ sin (x) dx = -1n sin — 1 (x) cos (x) + n — 1n ∫ грех — 2(х)дх
6.
∫ cosn(x)dx = 1n cosn — 1(x)sin(x) + n — 1n ∫ cosn — 2(x)dx
7.
∫ dxsin (x) = ln|tg(x2)| + С
8.
∫ dxcos(x) = ln|ctg(x2)| + С
9.
∫ dxsin2(x) = -ctg(x) + C
10.
∫ dxcos2(x) = tg(x) + C
11.
∫ sin (x) cos (x) dx = -14 cos (2x) + C
12.
∫ sin2 (x) cos (x) dx = 13sin3 (x) + C
1. 3.
∫ sin (x) cos2 (x) dx = -13 cos3 (x) + C
14.
∫ sin2(x)cos2(x)dx = -18x — 132sin(4x) + С
15.
∫ tg (x) dx = -ln |cos (x)| + С
16.
∫ ctg (x) dx = ln |sin (x)| + С
17.
∫ sin (x) cos2 (x) dx = 1 cos (x) + C
18.
∫ cos(x)sin2(x)dx = -1sin(x) + C
19.
∫ sin2 (x)cos2 (x)dx = tg (x) — x + C
20.
∫ cos2(x)sin2(x)dx = -ctg(x) — x + C
21.
∫ sin2 (x)cos (x)dx = ln|ctg(x2)| -грех(х)+С
22.
∫ cos2 (x)sin (x)dx = ln|tg(x2)| + cos (х) + С
23.
∫ dxsin (x) cos (x) = ln|tg(x)| + С
24.
∫ dxsin2 (x) cos (x) = -1sin (x) + ln|ctg(x2)| + С
25.
∫ dxsin (x) cos2 (x) = 1cos (x) + ln|tg(x2)| + С
26.
∫ dxsin2 (x) cos2 (x) = tg(x) — ctg(x) + C
27.
∫ dxsin(x) = -1n — 1cos(x)sin — 1(x) + n — 2n — 1 ∫ dxsin — 2(х)
28.
∫ tgn (x) dx = tgn — 1 (x)n — 1 — ∫ тгн — 2(х)дх
29.
∫ ctgn(x)dx=-ctgn-1(x)n-1 — ∫ ctgn — 2(x)dx
30.
∫ sin (x) cosn (x) dx = -cosn + 1 (x)n + 1 + C
31.
∫ cos (x) sinn (x) dx = sinn + 1 (x)n + 1 + C

Стандартные подстановки при интегрировании тригонометрических функций

Здесь мы рассмотрим стандартные замены, с помощью которых в большинстве случаев осуществляется интегрирование тригонометрических функций.

Подстановка t = sin x

Преобразование выполняется по формулам:

cos х dx = dt;
грех х = т; cos2 х = 1 – t2;<br>;

Подстановка t = cos x

sin x dx = — dt;
потому что х = т; sin2 х = 1 – t2;<br>;

Интегрирование обратных тригонометрических функций

Интегралы, содержащие обратные тригонометрические функции
arcsin φ, arctg φ и т д., где φ — алгебраическая функция от x, часто интегрируется по частям, устанавливая u = arcsin φ, u = arctg φ и т д

Стандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Общий подход

Во-первых, при необходимости подынтегральная функция должна быть преобразована так, чтобы тригонометрические функции зависели от одного аргумента, который будет совпадать с переменной интегрирования.

Например, если подынтегральное выражение зависит от sin(x+a) и cos(x+b), следует выполнить преобразование:
cos(x+b)=cos(x+a-(a-b))=cos(x+a)cos(b-a)+sin(x+a)sin(b-a).
Затем сделайте замену z = x+a. В результате тригонометрические функции будут зависеть только от переменной интегрирования z.

Когда тригонометрические функции зависят от одного аргумента, совпадающего с переменной интегрирования (допустим, это z), то есть подынтегральная функция состоит только из функций вида sin z, cos z, tg z, ctg z, то необходимо создать замена
.
Такая замена приводит к интегрированию рациональных или иррациональных функций (при наличии корней) и позволяет вычислить интеграл, если он интегрируется в элементарных функциях.

Однако часто можно встретить и другие методы, позволяющие вычислить интеграл более коротким способом, исходя из спецификаций подынтегральной функции. Ниже приводится краткое изложение наиболее важных таких методов.

Методы интегрирования рациональных функций от sin x и cos x

Рациональные функции от sin x и cos x — это функции, образованные от sin x, cos x и любых констант с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в целую степень. Они обозначаются следующим образом: R(sin x, cos x). Сюда же можно отнести тангенсы и котангенсы, так как они образуются путем деления синуса на косинус и наоборот.
Интегралы рациональных функций имеют вид:
.

Методы интегрирования рациональных тригонометрических функций следующие.
1) Подстановка всегда приводит к интегралу от рациональной дроби. Но в некоторых случаях есть замены (см ниже), которые дают более короткие вычисления.
2) Если R(sin x, cos x) умножается на –1 при подстановке cos x → – cos x, то выполняется замена t = sin x.
3) Если R(sin x, cos x) умножается на –1 при подстановке sin x → – sin x, то выполняется замена t = cos x.
4) Если R(sin x, cos x) не меняется, как при одновременной замене cos x → — cos x и sin x → — sin x, то используется замена t = tg x или t = ctg x.

Произведение степенных функций от cos x и sin x

Интегралы вида
являются интегралами рациональных тригонометрических функций. Поэтому к ним можно применить методы, изложенные в предыдущем разделе. Ниже мы рассмотрим методы, основанные на задании таких интегралов.

Если m и n — рациональные числа, одна из замен t = sin x или t = cos x сводит интеграл к интегралу от дифференциального бинома.

Если m и n — целые числа, интегрирование выполняется по формулам приведения:

Интегралы от произведения многочлена и синуса или косинуса

Интегралы вида:

где P(x) — многочлен ix, интегрируется по частям. В результате получаются следующие формулы:

Интегралы от произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса

Интегралы вида:

где P(x) — полином ix, интегрируется по формуле Эйлера
eiax = cos ax + isin ax (где i2 = –1).
Для этого методом, описанным в предыдущем разделе, вычисляется интеграл

Нестандартные методы интегрирования тригонометрических функций

Ниже приведен ряд нестандартных методов, позволяющих выполнить или упростить интегрирование тригонометрических функций.

Зависимость от (a sin x + b cos x)

Если подынтегральная функция зависит только от a sin x + b cos x, полезно использовать формулу:

Разложение дроби из синусов и косинусов на более простые дроби

Рассмотрим интеграл
.
Самый простой способ интегрирования — разложить дробь на более простые, используя преобразование:
sin(a — b) = sin(x + a — (x + b)) = sin(x+a) cos(x+b) -cos(x+a) sin(x+b)

Интегрирование дробей первой степени

При вычислении интеграла

удобно выбрать целую часть дроби и производную от знаменателя
a1sin x + b1cos x =A (a sin x + b cos x) + B (a sin x + b cos x)′ .
Константы А и В находятся путем сравнения левой и правой частей.

Оцените статью
Блог о Microsoft Word
© 2024 Блог о Microsoft Word