Что такое число

Что такое число

Число — это математический инструмент, представляющий количество «моделей». Чтобы понять, что такое модель, представьте себе стол на четырех ножках. Цифра 4 обозначает кости, каждая кость состоит из разных кусочков материала, у них есть свои трещины, но главное, что это кости. Берем не конкретную ногу, а идеальную модель ноги. Цифра 4 показывает количество этих шаблонов.

Математика упрощает реальные объекты до идеальных моделей, отбрасывая лишнее и сосредотачиваясь на существенном. Это число и есть идеальная модель, точнее количество этих моделей. Он дает силу понимания и мы не складываем золото с ракушками.

Также важно знать: один и тот же объект может быть выражен разными числами, это зависит от наших задач. Дерево можно представить как: 1000 ветвей или 50 000 листьев или 100 литров кислорода в день.

Число – это количество идеальных моделей.

Появление чисел

Интуитивное представление о числах, по-видимому, так же старо, как и само человечество, хотя в принципе невозможно с уверенностью проследить все ранние этапы его развития. Прежде чем человек научился считать или изобрел слова для чисел, он, несомненно, имел наглядное, интуитивное представление о числе, которое позволяло ему различать одного человека и двух людей, или двух и много людей. То, что первобытные люди сначала знали только «один», «два» и «много», подтверждается тем, что в некоторых языках, например в греческом, существуют три грамматические формы: единственное, двойственное и множественное число. Позже человек научился различать два и три дерева и трех и четырех людей.

Счет изначально был связан с очень специфическим набором предметов, и самыми первыми названиями чисел были прилагательные. Например, слово «дерево» использовалось только в сочетаниях «три дерева» или «три человека»; идея о том, что эти наборы имеют что-то общее — концепция Троицы — требует высокой степени абстракции. О том, что счет предшествует этому уровню абстракции, свидетельствует тот факт, что слова «один» и «первый», а также «два» и «второй» не имеют во многих языках ничего общего, а «один», «два» , «много», слова «три» и «третий», «четыре» и «четвертый», лежащие вне первобытного исчисления, ясно указывают на связь между количественными и порядковыми числительными.

Названия чисел, выражающие весьма абстрактные идеи, несомненно, появились позже, чем первые грубые символы для обозначения количества предметов в определенной совокупности. В древности примитивные числовые записи делались в виде насечек на палке, узлов на веревке, выложенных в ряд камешками, и понималось, что между элементами наборов существует взаимно однозначное соответствие которые подсчитываются, и символы числового ввода. Но для чтения таких числовых записей названия чисел напрямую не использовались. Теперь мы с первого взгляда распознаем наборы из двух, трех и четырех элементов; наборы, состоящие из пяти, шести или семи элементов, несколько труднее распознать с первого взгляда.

А за этим пределом определить число на глаз практически невозможно, и необходим анализ либо в виде счета, либо в определенной структуризации элементов. Подсчет марок, по-видимому, был первым методом, использованным в таких случаях: насечки на фишках располагались определенными группами, точно так же, как при подсчете бюллетеней они часто группируются в пачки по пять или десять штук. Счет на пальцах был очень распространен, и вполне возможно, что названия некоторых чисел произошли именно от этого метода счета.

Важной особенностью счета является привязка названий чисел к определенной схеме счета. Например, слово «двадцать три» — это не просто термин, обозначающий вполне определенную (по количеству элементов) группу объектов; это составной термин, означающий «дважды десять и три». Здесь отчетливо видна роль числа десять как единой единицы или основы; и действительно, многие люди считают десятками, потому что, как заметил Аристотель, у нас по десять пальцев на руках и на ногах. По той же причине использовались базы пять или двадцать. На самых ранних этапах развития человеческой истории за основу системы счисления брались числа 2, 3 или 4; иногда основания 12 и 60 использовались для некоторых измерений или расчетов.

Человек начал считать задолго до того, как научился писать, поэтому никаких письменных документов, свидетельствующих о словах, обозначавших числа в древности, не сохранилось. Для кочевых племен характерны устные названия чисел, что касается письменных, то потребность в них появилась только с переходом к оседлому образу жизни, образованием земледельческих обществ. Также была потребность в системе записи чисел, и именно тогда были заложены основы развития математики.

Читайте также: Проекция вектора

Отличия чисел от цифр

1. Наиболее очевидным является то, что числа состоят из цифр.
2. Число — это символ, а число — количественная абстракция.
3. Количество номеров не ограничено, т.е их бесчисленное множество. При этом цифр всего 10 (перечислены выше).

Виды чисел

За каждым числом стоит объект и происходит деление на разные виды чисел в зависимости от:

• из задач, которые решают числа
• от объектов, скрытых за цифрами

Простые и составные числа.

Простые числа — во-первых, это только натуральные числа, а во-вторых, это то, что такие числа делятся БЕЗ остатка ТОЛЬКО на 1 и само на себя.

Например: 2, 3, 5, 7, 31, 101, 163 и так далее — делятся только на 1 и на себя.

Составные числа — это числа, которые делятся более чем на 1 и на себя.

Например: 4 делится на 1, 2 и само на себя; 50 делится на 1, 2, 5, 10 и само на себя.

Гульника! При этом ЕДИНИЦА не применяется ни к простым, ни к составным числам!

Основная теорема арифметики:

Любое натуральное число, кроме 1, можно представить в виде произведения простых множителей, и такое разложение будет единственным.

Например:

50 = 5 * 10

10 = 5 * 2 —> 50 = 5 * 5 * 2

Отрицательные и целые числа.

Отрицательные числа — они обратны натуральным числам и находятся на числовой прямой слева от 0. Например, если из 1 вычесть 2, то получится -1.

Целые числа — такой набор чисел, который включает в себя 0, натуральные числа и противоположные натуральным числам (отрицательные). Обозначается — З.

Числовое множество

Числовой набор представляет собой ряд чисел. Когда мы говорим о типах чисел, мы имеем в виду, что эти числа принадлежат ряду чисел, то есть множеству чисел.

Принадлежность к числовому диапазону отмечается символом ∈.

Ноль принадлежит множеству целых чисел, запишем его так: 0 ∈ Z

Натуральные числа N

Есть объекты, которые при совместном использовании теряют свои свойства. Разделив бутылку на части, она перестает выполнять свою роль: перестает быть сосудом. Если вы разделите самолет, он также перестанет выполнять свою роль: перевозить пассажиров. Автомобиль, поезд, телевизор, кресло, список бесконечен. Они называются счетными элементами.

Для исчисляемых объектов существует особый тип числа: натуральные числа. Натуральные числа тоже существуют здесь и сейчас, для работы с движением во времени есть отрицательные числа, но об этом в отдельной лекции.

Натуральные числа — термин для неделимых объектов «здесь и сейчас». Они обозначаются символом N. Другое определение: Натуральные числа — это положительные целые числа от единицы до бесконечности.

Целые числа Z

Целые числа скрывают исчисляемые предметы, то есть те, которые теряют свои свойства при делении, но эти числа уже не ограничиваются настоящим: они могут описывать движение предметов во времени. Вот откуда берется диапазон отрицательных чисел. О том, что такое отрицательные числа, мы подробно поговорим в соответствующей лекции.

Целые числа — это натуральные числа, ноль и отрицательные целые числа. Они отмечены символом Z.

Рациональные числа Q

Есть предметы, которые при делении не потеряют своих свойств: вода, воздух, зерно, свет, этот список можно продолжать без конца. Возникла необходимость описать мелкие детали, и тут на помощь приходят дроби.

Рациональные числа — это целые и нецелые числа, которые можно представить в виде дроби. Может быть представлено в виде дроби m/n, где m — целое число, n — натуральное число, а n ≠ 0. Обозначается символом Q. Рациональное число можно получить с помощью четырех арифметических операций: сложения, вычитания, умножения, и деление.

Иррациональные числа I

Одни элементы зависят от других. В равнобедренном прямоугольном треугольнике со стороной, равной 1, гипотенуза будет равна √2.

Если мы попытаемся извлечь корень, мы получим число с бесконечным числом знаков после запятой: 1,4142135623730951. Эти признаки не будут периодическими, то есть непредсказуемыми.

Иррациональные числа — это дробные числа, которые нельзя представить в виде дроби. Обозначается символом I. К иррациональным числам относятся также число, число Эйлера e, золотое сечение φ, все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов.

Действительные (вещественные) числа R

Действительные (действительные) числа — это рациональные числа и иррациональные числа. Обозначается символом Р.

Дроби.

Интуитивно мы думаем о дроби 2/3 как о результате деления 1 на три равные части и взятия двух из них. Однако математик стремится как можно меньше полагаться на интуицию и определять рациональные числа через более простые объекты — целые числа. Это можно сделать, рассматривая 2/3 как упорядоченную пару (2,3) целых чисел. Для завершения определения необходимо сформулировать правила равенства дробей, а также сложения и умножения. Конечно, эти правила должны быть эквивалентны правилам арифметики и, конечно, отличаться от правил для упорядоченных пар, которые мы определили как целые числа. Вот правила:

Легко видеть, что пары (a,1) действуют как целые числа a; Если продолжать рассуждать так же, как и с отрицательными числами, то через 2 обозначим дробь (2.1), или (4.2), или любую другую дробь, равную (2.1). Теперь забудем целые числа и сохраним их только как средство записи некоторых дробей.

Комплексные числа C

Комплексные числа — это служебные числа, которые не несут реального объекта, но помогают в решении квадратных уравнений и других операциях. Комплексные числа — это выражения, содержащие мнимую единицу: 3x + i, 4i, y — xi и так далее. Обозначается буквой С

Мнимая единица равна √-1 и отмечена символом I. Как мнимые числа спасли математику .

Принцип образования чисел

Десятью цифрами можно записать любое натуральное число. В зависимости от того, сколько цифр в числе, оно может быть:

• уникальный — состоит из одной цифры (например: 2, 6, 7). Наименьшее однозначное число — единица, наибольшее — 9.
• двузначный — состоит из двух цифр (например: 14, 52, 60, 78 и так далее). Самое маленькое двузначное число — 10, самое большое — 99.
• трехзначный — содержит три цифры (например: 184, 211, 306, 612 и так далее). Самое маленькое трехзначное число — 100, самое большое — 999.
• четырехзначный, пятизначный или, другими словами, многозначный (например: 2048, 51947, 984871 и так далее). В соответствии с названием такие числа состоят из четырех, пяти, шести и более цифр.

Примеры:

1. Число «пятьдесят восемь» пишется так — «58». То есть расставляем номера по соответствующим категориям:

• «8» — в единицах;
• «5» — это десятки.

2. Чтобы записать число «шестьсот двадцать шесть», нам понадобится всего две цифры — «6» и «2», несмотря на то, что оно трехзначное:

• «6» — в единицах и сотнях;
• «2» в десятках.

Таковых оказывается «626”.

Использование запятых

Для записи цифр могут использоваться не только цифры, но и запятые (в некоторых странах — точки). Это делается для разделения целых и дробных частей. Например:

• 120,5
• 306,71
• 221 409

Определение, регистрацию, произношение и свойства десятичной дроби мы подробно рассмотрели в отдельной публикации.

Произношение чисел

Числа от 1 до 20

Число	Произношение	Число	Произношение
1	один	одиннадцать	одиннадцать
2	два	12	двенадцать
3	три	1. 3	тринадцать
4	четыре	14	четырнадцать
5	пять	15	пятнадцать
6	шесть	16	шестнадцать
7	семь	17	семнадцать
8	восемь	18	восемнадцать
9	девять	19	девятнадцать
10	десять	20	двадцать

Десятки и сотни

Число	Произношение	Число	Произношение
10	десять	100	сто
20	двадцать	200	двести
30	тридцать	300	три сотни
40	сорок	400	четыре сотни
50	пятьдесят	500	пятьсот
60	шестьдесят	600	шестьсот
70	семьдесят	700	семь сотен
80	восемьдесят	800	восемьсот
90	девяносто	900	девятьсот

Степени 10

Число	Произношение	10 вечера
1000	тысяча	103
1 000 000	миллион	106
1 000 000 000	миллиарды	109
1 000 000 000 000	триллионы	1012
1 000 000 000 000 000	квадриллион	1015
1 000 000 000 000 000 000	квинтиллион	1018
1 000 000 000 000 000 000 000	секстиллион	1021
1 000 000 000 000 000 000 000 000	септиллион	1024
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000	октиллион	1027
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	квинтиллион	1030
1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000	дециллион	1033

Названия чисел после 20 составные, т.е все цифры в каждом классе произносятся по очереди с добавлением названия самого класса (от старшего к младшему), за исключением первого класса.

Примеры:

• 65 — «шестьдесят пять”;
• 247 — «двести сорок семь”;
• 1 518 — «одна тысяча пятьсот восемнадцать”;
• 25 814 — «двадцать пять тысяч восемьсот четырнадцать”;
• 450 627 – «четыреста пятьдесят тысяч шестьсот двадцать семь”;
• 2 393 026 — «два миллиона триста девяносто три тысячи двадцать шесть”.

Классы чисел

Цифры в записи многозначных чисел делятся справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называются классами. В каждом классе числа справа налево представляют единицы, десятки и сотни этого класса.

Таблица класса:

Названия классов с многозначными числами справа налево:

• первый — это класс сущностей,
• другой — класс тысяч,
• третий — класс миллионов,
• четвертый — класс миллиардов,
• пятый — класс триллионов,
• шестой класс квадриллион,
• седьмой класс квинтиллионов,
• восьмой — класс секстиллионов.

Чтобы было удобно читать запись многозначного числа, между классами есть небольшой промежуток. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала извлечь в нем классы:

• 125 911 723 296.

А теперь читаем количество единиц в каждом классе слева направо:

• 125 миллиардов 911 миллионов 723 тысячи 296.

При чтении класса единиц не нужно добавлять в конце слово «единицы.

Разряды чисел

Положение цифры в записи числа определяет его значение. Например:

• 1123 содержит: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу.

Можно сформулировать иначе и сказать, что в данном числе 1123 цифра 3 стоит в разряде единиц, 2 – в разряде десятков, 1 – в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.

Поясним, что такое категория в математике. Цифра — это расположение или расположение цифры в записи натурального числа.

Каждая категория имеет свое название. Старшие цифры всегда живут слева, а младшие цифры всегда живут справа. Чтобы быстрее запомнить, можно воспользоваться таблицей.

Количество цифр всегда соответствует количеству символов в номере. В этой таблице есть названия всех цифр для числа, состоящего из 15 символов. Следующие цифры тоже имеют названия, но используются они редко.

Младшая (наименее значащая) цифра в многозначном натуральном числе — это цифра единиц.

Старшей (старшей) цифрой в многозначном натуральном числе является цифра, соответствующая самой левой цифре данного числа.

Битовые единицы обозначаются следующим образом:

• Единицы — единицы первой цифры (или простые единицы) и пишутся изначально справа.
• Десятки являются единицами второго разряда и записываются в числе вторыми справа.
• Сотни – это единицы третьего разряда и пишутся третьими справа.
• Единицы тысячи — это единицы четвертой цифры, которые записываются четвертой справа.
• Десятки тысяч являются единицами пятой цифры и записываются пятой справа.
• Сотни и тысячи являются единицами шестого разряда и записываются в числе шестым справа и так далее.

Каждая третья последовательная цифра представляет собой класс. Первые три цифры: единицы, десятки и сотни образуют класс единиц (первый класс). Следующие три цифры: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будет единицами, десятками и тысячами миллионов и так далее.

Представление чисел в памяти компьютера

Чтобы представить положительное целое число xi в памяти компьютера, оно преобразуется в двоичную систему счисления. Полученное число в двоичном формате x2 представляет собой машинную запись соответствующего десятичного числа x10. Запись отрицательных чисел, так называемый дополнительный код числа, который получается прибавлением единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти ЭВМ (в вычислительной технике для их обозначения используется термин с плавающей запятой) имеет некоторые ограничения, связанные с используемой системой счисления, а также с ограниченным объемом памяти, выделяемой под числа. Таким образом, только часть действительных чисел может быть точно представлена ​​в памяти компьютера без потерь. В наиболее распространенной форме число с плавающей запятой записывается как блок битов, некоторые из которых являются мантиссом числа, некоторые — степенью, а один бит назначается для представления знака числа (если необходимо, бит знака может отсутствовать).