Определение пирамиды
Пирамида — геометрическая фигура в пространстве; многогранный, состоящий из основания и боковых граней (с общей вершиной), количество которых зависит от числа углов основания.
Примечание: пирамида является частным случаем конуса.
Элементы пирамиды
Для рисунка выше:
- Основание (четырехугольник ABCD) – лицо фигуры, которое многогранно. Ей не перевести вершина.
- Вершина пирамиды (точка Е) является общей точкой всех боковых граней.
- Боковые грани – треугольники, которые сходятся в вершине. В нашем случае это: AEB, AED, BEC и CED.
- Боковые ребра – боковые ребра, кроме тех, которые относятся к основанию. Т.е. Это AE, BE, CE и DE.
- Высота пирамиды (EF или h) – перпендикулярная, опущенная от вершины пирамиды.
- Высота боковых граней (EM) – высота треугольника, являющегося стороной фигуры. В правой пирамиде они называются апофемами.
- Площадь поверхности пирамиды – это площадь основания и всех ее боковых граней. Формулы для нахождения площади поверхности (правильной фигуры) и объема пирамиды представлены в отдельных публикациях.
Развёртка пирамиды – фигура, получная при «разрезе» пирамиды, т.е при совмещении всех ее граней в другом месте из них. Для правильной четырехугольной пирамиды разброс в плоскости основания выглядит так.
Примечание: свойства пирамид представлены в отдельной публикации.
Виды сечения пирамиды
1. Диагональное сечение – секущая плоскость проходит через вершину фигуры и диагональное основание. В четырехугольной пирамиде таких участков два (по одному на каждой диагонали):
2. Если секущая плоскость параллельна основанию пирамиды, то она делит ее на две фигуры: подобную пирамиду (считая от вершины) и усеченную пирамиду (считая от основания). Сечение аналогично основанию многоугольника.
На этой картинке:
- пирамиды EABCD и EA1B1C1D1 подобны;
- четырехугольники ABCD и A1B1C1D1 также подобны.
Примечание: Существуют и другие типы сечения, но они не так распространены.
Читайте также: Площадь правильного шестиугольника — формула и калькулятор
Виды пирамид
- Правильная пирамида – основание фигуры представляет собой правильный многоугольник, а его вершина проецируется в центр основания. Он может быть треугольным, четырехугольным (на фото ниже), пятиугольным, шестигранным и т.д.
- Пирамида с боковой гранью, перпендикулярной основанию – одна из боковых граней фигуры расположена под прямым углом к плоскости основания. В данном случае это ребро является высотой пирамиды.
- Усеченной пирамидой называют часть пирамиды, которая остается между ее основанием и секущей плоскостью, параллельной этому основанию.
- Тетраэдр – это треугольная пирамида, гранями которой являются 4 треугольника, каждый из которых можно принять за основание вероятно (как на рисунке ниже) – если все ребра наличия, т.е все грани равнобедренные треугольники.
Правильные пирамиды
Пирамиды могут быть наклонными и прямыми, правильными и неправильными, выпуклыми и вогнутыми. Все названные типы фигур отличаются друг от друга особенностями полигонального основания и высоты поведения.
Предположим, что имеется пирамида, высота которой (отброшенная от вершины перпендикулярно основанию) приходится на многоугольник точно в его геометрическом центре. В этом случае фигура называется прямой. Если же многоголник из раносторномим, то кроме программ, примида также будет логин. Напоминаем, что центр геометрической плоской фигуры аналогичен центру масс в физике. Для квадрата она совпадает с точкой пересечения диагоналей, а для треугольника — с точкой пересечения медиан.
Пирамиды часто удобно изужать появление их совокупности. Таким образом, боковые ребра правильной пирамиды и ее боковые грани равны между собой. Особым случаем является ситуация, когда боковые грани образованы равносторонними треугольниками.
Далее рассмотрим, по каким формулам следует определять размеры боковых ребер пирамиды — правильного четырехугольника и треугольника.
Треугольная пирамида
Есть четыре линейных параметра, которые описывают размеры правильной пирамиды. К ним очень строна остановки a, боковое ребро b, высота h и апофема hb. Вот формулы, позволяющие рассчитать длину бокового ребра для правильной треугольной пирамиды. В основе этой фигуры лежит треугольник с равными сторонами, что позволяет написать следующие уравнения:
b = √(hb2 + a2/4);
b = √(h2 + a2/3).
Обе формулы являются следствием теоремы Пифагора для треугольников, в которых ребро стороны b является гипотенузой.
Четырехугольная пирамида
Эта фигура, пожалуй, самая известная среди остальных пирамид благодаря величественным древнеегипетским сооружениям. Боковое ребро квадратной пирамиды можно определить по следующим формулам:
b = √(hb2 + a2/4);
b = √(h2 + a2/2).
Как и в предыдущем случае, эти выражения являются следствием свойств катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника.
Отметим, что формула вычисления бокового ребра правильной квадратной пирамиды через ее апофеум и сторону основания аналогична формуле для треугольной фигуры. Это совпадение не случайно, так как боковые грани обеих пирамид представляют собой равнобедренные треугольники.
Некоторые свойства пирамиды
1) Если все боковые ребра здоровья, то
— около основания пирамиды можно описать окружность, а вершина пирамиды проецируется в ее центр
– боковые ребра образуют плоские углы с плоским основанием
Правда и наоборот.
Если боковые ребра образуют равные углы с плоскостью основания, то все боковые ребра пирамиды равны.
Если вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а вершина пирамиды выступает в ее центр, то все боковые ребра пирамиды равны.
2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, причем вершина пирамиды спроецирована в ее центр
Правда и наоборот.
Свойства правильной пирамиды
1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.2. Все боковые ребра качества.3. Все боковые ребра наконленены под иднейдими углами к основанию.4. Апофемы весх боковых граней равны.5. Площади всех боковых граней плотности.6. Все грани имеют одинаковые двусторонние (плоские) углы 7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. 8. В пирамиде можно написать сферу. 9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n, где n — количество углов в основании пирамиды.
Объём и площадь поверхности пирамиды
Формула Объем пирамиды через площадь основания и высоту:
| В = | 1 | СоснХ |
| 3 |
Определение.Боковая строфечите примиды — это коплочная площадь всех кововых граней граней примиды:
| Сб = | 1 | кандидат наук |
| 2 |
Для определения площади основания пирамиды см формулы площади плоских фигур Для определения площади основания правильной пирамиды см формулы площади правильных многоугольников
Связь пирамиды со сферой
Вокруг пирамиды можно описать сферу, когда в основании пирамиды лежит многоугольник, вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центр сферы будет точкой пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.
Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу. 
Сферу можно вписать в пирамиду, если биссектрисы внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.
Связь пирамиды с конусом
Конус называется вписанным в пирамиду, если его вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды..Конус можно описать вокруг пирамиды, если все боковые ребра пирамиды равны между собой.
Связь пирамиды с цилиндром
Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одном основании цилиндра, а основание пирамиды вписано в другое основание цилиндра.
Определение Усеченная пирамида (пирамидальная призма) – это многогранник, который расположен между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом, пирамида имеет большее основание и меньшее основание, подобное большему. Боковые грани представляют собой трапеции. 
Определение. Тетраэдр имеет четыре грани, четыре вершины и шесть ребер, причем любые два ребра не имеют общих вершин, но не касаются друг друга. Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, образующих треугольный угол. ГМ). Бимедиана называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, не соприкасающихся (KL). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы делятся в отношении 3:1 начиная с вершин.
Опередение.
Определение.Прямоугольная пирамида — это пирамида, у которой одна из боковых граней перпендикулярна основанию. Это один из пяти правильных многоугольников. В правильном тетраэдре все двусторонние углы (между ребрами) и трехгранные углы (при вершине) равны. Три грани образуют прямоугольный трехсторонний угол, а грани — прямоугольные треугольники, а основание — произвольный треугольник. Апофема любого зерна равна половине стороны основания, на которое падает апофема. В таком тетраэдре грани являются равносторонними треугольниками.Определение.Ортоцентрическим тетраэдром называется четырехгранник, у которого все высоты (перпендикуляры), опущенные от вершины к противоположной грани, пересекаются в одной точке.Определение.Звездчатой пирамидой называется многогранная пирамида, в основе которой лежит звезда.
Определение Бипирамида — многогранная, состоящая из двух разных пирамид (также можно разрезать пирамиды), имеющих общее основание, причем вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.
