Нахождение радиуса шара: формула и примеры

Содержание

Уравнение сферы
Основные свойства сферы и шара
Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства
Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства
Формулы вычисления радиуса шара
1. Через объем
2. Через площадь поверхности
Примеры задач

Уравнение сферы

1. Уравнение сферы радиусом R с центром в начале декартовой системы координат:

х2 + у2 + z2 = R2

2. Уравнение сферы радиусом R с центром в точке с координатами (x0, y0, z0) в декартовой системе координат:

(x — x0)2 + (y — y0)2 + (z — z0)2 = R2

3. Параметрическое уравнение сферы с центром в точке (x0, y0, z0):
x = x0 + R sin θ cos φy = y0 + R sin θ sin φz = z0 + R cos θ
где θ ϵ 0,π, φ ε 0,2π. Определение: Диаметрально противоположными точками называются две точки на поверхности сферы (шара), соединенные диаметром.

Основные свойства сферы и шара

1. Все точки на сфере одинаково удалены от центра.2. Любая часть сферы плоскостью является окружностью.3. Любая часть сферы плоскостью является кругом.4. Сфера имеет наибольший объем среди всех пространственных фигур с одинаковой площадью поверхности. Через две диаметрально противоположные точки можно провести много красивых кругов для сферы или кругов для шара.

6. Через две точки, кроме диаметрально противоположных, можно провести только одну большую окружность для сферы или одну большую окружность для шара.7. Любые две большие окружности шара пересекаются по прямой, проходящей через центр шара, причем окружности пересекаются в двух диаметрально противоположных точках.8. Если расстояние между центрами любых двух сфер меньше суммы их радиусов и больше модуля разности их радиусов, то такие сферы пересекаются, и в плоскости пересечения образуется окружность.

Секущая, хорда, секущая плоскость сферы и их свойства

Определение: секущая сферы – это прямая линия, которая пересекает сферу в двух точках. Точки пересечения называются точками проникновения в поверхность или точками входа и выхода на поверхности. Определение. Хорда сферы (шара) – это отрезок, соединяющий две точки шара (поверхности шара). Определение. Секущая плоскость — это плоскость, которая разрезает сферу.

Определение Диаметральная плоскость — это секущая плоскость, проходящая через центр сферы или сферы, сечение которой образует большой круг и большой круг соответственно. Большой круг и большой круг имеют центр, совпадающий с центром сферы (сферы). Любая хорда, проходящая через центр сферы (сферы), является диаметром. Хорда – это отрезок секущей. Расстояние d от центра сферы до секущей всегда меньше радиуса сферы:

д < р

Расстояние m между секущей плоскостью и центром сферы всегда меньше радиуса R:

м < R

Сечение секущей плоскости на сфере всегда будет маленькой окружностью, а на сфере сечением будет маленькая окружность. Малый круг и малый круг имеют свои центры, не совпадающие с центром сферы (сферы). Радиус r такой окружности можно найти по формуле:

г = √R2 — м2,

где R — радиус сферы (сферы), м — расстояние от центра сферы до плоскости сечения. Определение Полусфера (полусфера) — это полусфера (сфера), образованная при разрезании ее диаметральной плоскостью.

Касательная, касательная плоскость к сфере и их свойства

Определение Касательной к сфере называется прямая, которая касается сферы только в одной точке. Определение. Касательная плоскость к сфере — это плоскость, которая касается сферы только в одной точке. Касательная линия (плоскость) всегда перпендикулярна радиусу сферы, проведенной к точке касания. Расстояние от центра сферы до касательной (плоскости) равно радиусу сферы.
Определение: Сегмент шара — это часть шара, отсеченная от шара секущей плоскостью. Основанием сегмента называется круг, который образовался на месте разреза. Высота отрезка h — это длина перпендикуляра, проведенного из центра основания отрезка к поверхности отрезка. Формула. Площадь внешней поверхности сегмента сферы высотой h через радиус сферы R:

S = 2πRh

Формула. Объем сегмента сферы высотой hi равен радиусу сферы R:

В =	h2π	(3R-ч)
3

Определение: Диск шара – это часть шара, образованная в результате его сечения двумя параллельными плоскостями и расположенная между ними.
Определение. Сектором называется часть шара, ограниченная суммой всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих на поверхности окружность радиусом г. Формула. Площадь поверхности сектора S высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

S = πR(2t + √2tR — h2)

Формула Объем сектора V высотой O1H (h) через радиус сферы OH (R):

В =	2πR2h
3

Определение: Касательные сферы (сферы) – это любые две сферы (сферы), имеющие общую точку соприкосновения. Если расстояние между центрами больше суммы радиусов, то фигуры не касаются и не пересекаются.
Определение: концентрическими сферами называются любые две сферы, имеющие общий центр и радиусы разной длины.