Косинус острого угла (cos): определение, формула, таблица, график, свойства

Определение

Косинусом острого угла α (cos α) называется отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c) прямоугольного треугольника.

потому что α = b / c

Например:
б = 4
с=5
cos α = b / c = 4 / 5 = 0,8

История изучения

Всегда интересно, откуда произошло то или иное слово. И только с COSINUS это очень интересная история. Он начинается в четвертом веке и связан с именем индийского астронома и математика Ариабхты.

Он ввел специальный термин, который назвал дугой. Это было слово ардхаджива, происходящее от ардха (половина) и джива (тетива).

Через 500 лет уже арабские математики решили заменить этот трудно для них произносимый термин привычным для них словом «джаиб». В переводе это означало «шишка».

И, наконец, чуть позже европейцы стали переводить арабские математические тексты и натолкнулись на этот термин. Для них слово «кливер» тоже было иностранным, поэтому они заменили его латинским «Sinus», что в переводе означает «искривление, изгиб».

Но слово КОЗИНУС является производным от СИНУС. Оно возникло из выражения «полный синус», что означает «сверхсинус» или «синус лишней дуги».

На самом деле уже тогда математики установили основную связь между синусом и косинусом. И выражается в следующей формуле:

График косинуса

Функция косинуса записывается как y = cos(x). График называется косинусной волной и в целом выглядит так:

Косинусоидальная волна является периодической функцией с основным периодом T = 2π.

Свойства косинуса

Ниже в табличной форме представлены основные свойства косинуса с формулами:

Свойство	Формула
Симметрия	cos(-α) = cosα»порядок данных=»cos (-α) = cos α»>cos(-α) = cosα
Симметрия	cos (90°- α) = sin α» data-order=»cos (90°- α) = sin α»> cos (90°- α) = sin α
Пифагорейское тригонометрическое тождество	sin2 α + cos2 α = 1″ порядок данных=»sin2 α + cos2 α = 1″>sin2α + cos2α = 1
	cos α = sin α / tg α» data-order=»cos α = sin α / tg α»> cos α = sin α / tg α
	cos α = 1/сек α» data-order=»cos α = 1 / sec α»> cos α = 1/сек α
Косинус двойного угла	cos2α = cos2α — sin2α» data-order=»cos 2α = cos2 α — sin2 α»>cos2α = cos2α — sin2α
Косинус суммы углов	cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β» data-order=»cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β»> cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β
Косинус разности углов	cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β» data-order=»cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β»> cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β
Сумма косинусов
Косинусная разница
Произведение косинусов
Произведение косинуса и синуса
Производная косинуса	cos’ x = -sin x» data-order=»cos’ x = -sin x»>cos’ х = -sin х
Интеграл косинуса	∫ cos x dx = sin x + C»data-order=»∫ cos x dx = sin x + C»>∫ cos x dx = sin x + C
Формула Эйлера	cos x = (eix + e-ix) / 2″ data-order=»cos x = (eix + e-ix) / 2″> cos x = (eix + e-ix) / 2

Обратная к косинусу функция

Арккосинус x является обратной функцией косинуса x, для -1≤x≤1.

Если косинус у равен х (cos у = х), то арккосинус у х равен у:

arccos x = cos-1 x = y

Например:

arccos 1 = cos-1 1 = 0° (0 рад)

Читайте также: шаровой сектор

Принятые обозначения

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x являются периодическими с периодом 2π.

Четность

Функция синуса странная. Функция косинуса гладкая.

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n — целое число).

По убыванию
Высоты,
Минимальные требования
Нули,
Точки пересечения с осью Y, x = 0	у=0	у=1

Таблица косинусов

х (°)» порядок данных=»x (°)» style=»min-width:34.5098%; ширина:34,5098%;»>x (°)	х (строка)» порядок данных=»x (счастливый)» style=»min-width:32.1569%; ширина:32,1569%;»>x (строка)	х»заказ данных=»cos x«стиль = «минимальная ширина: 33,33333%»; ширина:33,3333%;»>cos x
180°	π	-1
150°	5π/6	3/2″ порядок данных=»-√3/2″>-√3/2
135°	3π/4	2/2″ порядок данных=»-√2/2″>-√2/2
120°	2π/3	-1/2
90°	π/2	0
60°	π/3	1/2
45°	π/4	2/2″ порядок данных=»√2/2″>√2/2
30°	π/6	3/2″ порядок данных=»√3/2″>√3/2
0°	0	1

Формулировка и доказательство теоремы косинусов

Для начала вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Формула теоремы Пифагора:

a2> + b2> = c2>, где a, b — катеты, c — гипотенуза.

Теорема косинусов звучит так: квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Формула теоремы косинусов: a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

При доказательстве теоремы косинусов мы используем формулу длины отрезка в координатах. Рассмотрим эту формулу:

ВС2 = (х2 — х1)2 + (у2 — у1)2

В доказательстве теоремы косинусов ВС — сторона треугольника АВС, которую обозначают буквой а. Введем практическую систему координат и найдем координаты нужных нам точек. Точка B имеет координаты (c; 0).
Координаты точки C равны (b cos α; b sin α) для α ∈ (0°; 180°).

cos2α + sin2α = 1 — основное тригонометрическое тождество.

BC2 = a2 = (b cos α — c)2 + b2sin2α = b2cos2α + b2sin2α — 2bc cos α + c2 = b2(cos2α + sin2α) — 2bc cos α + c2

КЭД

Совет: чтобы быстрее разобраться в сложной теме, запишитесь на математические онлайн-курсы для детей и подростков.

Используя закон косинусов, можно найти косинус угла треугольника:

• При b2 + c2 — a2 > 0 угол α будет острым.
• При b2 + c2 — a2 = 0 угол α будет прямым.
• При b2 + c2 — a2 < 0 угол α будет тупым.

Помните: когда угол α прямой, теорема косинусов становится теоремой Пифагора.

Сформулируем еще одно доказательство теоремы косинусов.

Получим треугольник ABC, в котором высота CD опущена от вершины C к стороне AB. Это означает:

• AD = b × cos α,
• DB = c – b × cos α.

Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:

• h2 = b2 — (b × cos α)2
• h2 = a2 — (c – b × cos α)2

Приравняем правильные части уравнений:

• b2 — (b × cos α)2 = a2 — (c — b × cos α)2

или

• a2 = b2 + c2 — 2bc × cosα

Если один из углов у основания тупой (высота упирается в продолжение основания), то это точно так же, как обсуждалось выше.

Определим стороны b и c:

• b2 = a2 + c2 — 2ac × cosβ;
• c2 = a2 + b2 — 2ab × cos γ.

Формулировка теоремы для каждой из сторон треугольника

Теорема косинусов верна для всех сторон треугольника, то есть:

a2 = b2 + c2 — 2bc cos α

b2 = c2 + a2 — 2ca cos β

c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ

Теорему косинусов можно использовать для всех видов треугольников.

Косинусы углов треугольника

Теорема косинусов позволяет найти и косинус, и угол треугольника. Найдем косинусы углов:

Сходным образом:

Определение угла с помощью косинуса

Теперь давайте посмотрим на углы.

Как мы уже знаем, косинус угла из интервала (0°; 180°) определяет угол (в отличие от синуса).

Получим единичный полукруг. Если мы получим cos α, то получим точку на верхней полуокружности и задан угол α. Следовательно, cos α однозначно определяет точку M(cos α; sin α), и однозначно определяется угол ∠AOM.

Рассмотрение пределов изменения cos α и sin α

Рассмотрим пределы изменения синуса и косинуса α. Помните, что если α — угол треугольника, то он лежит между 0° и 180°.

Предел изменения косинуса: -1 < cos α < 1.

Предел изменения синуса: 0 < sin α ≤ 1.

• Если cos α > 0, то α ∈ (0°;90°)
• Если cos α < 0, то α ∈ (90°;180°)
• Если cos α = 0, то α = 90°

Связь между sin и cos одного угла

Вы, наверное, уже знаете, что тождественное похоже.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, устанавливающие связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом угла. Это означает, что одна из этих функций может быть найдена, если известна другая функция.

Ключом к сердцу тригонометрии является основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите ее, чтобы ваши отношения с тригонометрией развивались наилучшим образом:

sin2α + cos2α = 1

Сходство между тангенсом и котангенсом следует из основного тождества, поэтому оно является ключевым.

Равенство tg2α + 1 = 1/cos2α и равенство 1 + сtg2α + 1 = 1/sin2α выводятся из основного тождества делением обеих частей на sin2α и cos2α.

В результате деления получаем:

Поэтому важнейшему тригонометрическому тождеству уделяется максимальное внимание. Но какие же «метрики» могут обойтись без доказательств. Увидеть личность — докажи ее не раздумывая.

sin2α + cos2α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Для доказательства тождества обратимся к теме единичного круга.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

Докажем тождество sin2α + cos2α = 1

1. Итак, мы знаем координаты точки A (1; 0).
   Произвольный угол α, поэтому cos α = x0 = OB.
2. Если точку А повернуть на угол α, то точка А займет место точки А1.
3. По определению:
   • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
   • Косинусом угла (cos α) называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

   Это означает, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.

4. Опускаем перпендикуляр A1B к x0 из точки A1.
   Образовался прямоугольный треугольник OA1B.
   |А1В| = |у|
   |ОБ| = |х|.
5. Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.
   |ОА1| = 1.
6. Используя полученное выражение, запишем равенство по теореме Пифагора, так как полученный угол прямой:
   |A1B|2 + |OB|2 = |OA1|2.
7. Запишем это в виде: |y|2 + |x|2 = 12.
   Это означает, что y2 + x2 = 1.
   угол греха α = y
   cos угол α = x
8. Вставьте данные угла вместо координат точки:
   ОВ = cosα
   A1B = sinα
   А1О = 1
9. Получаем основное тригонометрическое тождество: sin2α + cos2α = 1.
   КЭД

Основное тригонометрическое тождество связывает синус с углом и косинус с углом. Зная один, вы легко найдете другой. Вам просто нужно извлечь квадратный корень по формулам:

• sinα = ±
• коса = ±

Как видите, перед корнем может стоять как минус, так и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, был ли первоначальный синус/косинус угла положительным или отрицательным.

Как правило, в задачах с подобными формулами уже есть условия, помогающие определить знак. Обычно таким условием является указание координатной четверти. Это позволяет легко узнать, какой знак нам нужен.

Тангенс и котангенс через синус и косинус

Несколько вступлений:

• Синус угла — это ордината у.
• Косинус угла — это абсцисса x.
• Тангенс угла – это отношение ординаты к абсциссе.
• Котангенс угла – это отношение абсциссы к ординате.

Из всего этого множества красивых, но не очень понятных слов можно сделать вывод, что одно зависит от другого. Такое соединение помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

• tga =
• ctga =

На основании определений:

• tga =
  =
• ctga =
  =

Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

даны углы sin и cos.

Отсюда следует, что тангенс угла есть отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

верны для всех углов α, значения которых укладываются в диапазон.

• Например, выражение
  относится к любому углу α, не равному
  + π + z, где z — любое целое число. В противном случае знаменатель будет равен 0.

Выражение

выполняется для любого угла α, не равного π * z, где z — любое целое число.

Курс подготовки к ОГЭ по математике Skysmart придаст вам уверенности и поможет освежить знания перед экзаменом.

Примеры решения задач

С помощью теоремы косинусов можно решать задачи по геометрии. Рассмотрим несколько интересных случаев.

Пример 1. Дан треугольник ABC. Найдите длину см.

∠C = 90°, AB = 9, BC = 3, AM/MB = 1/2, где M — точка на гипотенузе AB.

Как мы решаем:

1. Поскольку АМ + МБ = 9 и АМ/МБ = 1/2, то АМ = 3, МБ = 6.
   Из треугольника ABC находим cos B:
   
2. Из треугольника CMW по теореме косинусов находим CM:
   

   

   

Ответ: СМ = .

Пример 2. Дан треугольник ABC, где a2 + b2 < c2. Докажите, что угол ∠C тупой.

Как мы докажем:

1. Чтобы это доказать, нужно вспомнить теорему косинусов для угла ∠C:
   
2. Так как a2 + b2 < c2, то cos C < 0, поэтому ∠C тупая.

КЭД

Эта задача показала нам, что с помощью теоремы косинусов можно определить тупой или острый угол.

• Если c2 = a2 + b2, то ∠C = 90°.

• Если c2 < a2 + b2, то ∠C острая.

Дополнительные пояснения по этой и другим темам можно найти в справочнике по математике — с формулами, рисунками и примерами решения задач.