Подобные треугольники

Определение

Подобные треугольники — это треугольники, в которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сторонам другого треугольника.

Коэффициент подобия – это число k, равное отношению равных сторон равных треугольников.

Подобные (или эквивалентные) стороны подобных треугольников — это стороны, лежащие против равных углов.

Признаки подобия треугольников

I признаки подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники равны.

II признак подобия треугольников

Если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Первый признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники равны.

Если ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1,

что 
Азбука ~ 
А1В1С1.

Второй признак подобия треугольников

Если две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.

Если	АБ	=	Переменный ток	, ∠А = ∠А1,
А1В1	А1С1
что   Азбука ~  А1В1С1.

Третий признак подобия треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем равным сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если	АБ	=	До нашей эры	=	Переменный ток	,
А1В1	B1C1	А1С1
что   Азбука ~  А1В1С1.

Свойства подобных треугольников

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
• Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
• Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (особенно длин биссектрисы, медианы, высоты и серединного перпендикуляра) равно коэффициенту подобия.

Коэффициент подобия треугольников

Коэффициент подобия треугольников k – это число, равное отношению равных сторон (см формулу (2)).

Читайте также: Формулы площади поверхности геометрических фигур

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема 4. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство. Пусть треугольники
и
похож. Затем

.

и

, .

где
— коэффициент подобия.

Площади треугольников
и
по двум сторонам и угол между ними равен:

,

.

Затем

.

Подобие прямоугольных треугольников

Теорема 95. Два прямоугольных треугольника подобны, если у них один и тот же острый угол.

Предоставленный. У прямых углов ABC и abc (рис. 157) острые углы C и c равны.

Требуется доказать, что треугольники ABC и abc подобны.

Доказательство. Углы B и b равны прямым углам, углы C и c равны по предположению, поэтому они равны (теорема 90).

Теорема 96. Два прямоугольных треугольника подобны, если катет и гипотенуза одного пропорциональны катету и гипотенузе другого.

Предоставленный. В прямоугольных треугольниках ABC и abc (рис. 157)

Требуется доказать, что ∠A = ∠a, ∠C = ∠c.

Доказательство. Построим отрезок Bm, равный ba, на отрезке BA и проведем из точки m отрезок mn, параллельный ac, тогда имеет место пропорция:

Так как Bm = ab по построению, сравнивая две пропорции (a) и (b), заключаем, что ac = mn, следовательно, два прямоугольных треугольника Bmn и abc, имеющие равный катет и равную гипотенузу, равны.

На самом деле у них Bm = ab, mn = ac. Подобные треугольники имеют равные углы:

∠m = ∠a = ∠A и ∠n = ∠c = ∠C

следовательно, два треугольника ABC и abc подобны.

Теорема 97. В подобных треугольниках высоты пропорциональны сторонам.

Даны два равных треугольника ABC и FED (рис. 158), следовательно,

∠A = ∠F, ∠B = ∠E, ∠C = ∠D и
AB/FE = BC/ED = AC/DF

и проведены высоты BH и Eh.

Требуется доказать, что AB/FE = BH/Eh.

Доказательство. Прямые углы ABH и FEh равны, так как ∠A = ∠F по предположению, ∠AHB = ∠FhE как прямые, поэтому

Теорема 98

Предоставленный. Отрезок BD делит угол B треугольника ABC пополам (рис. 159).

∠ABD = ∠DBC или ∠α = ∠β

Требуется доказать, что AB/BC = AD/DC.

Доказательство. Из точки A провести отрезок AF, параллельный BD, до пересечения с прямой BC в точке F. В треугольнике FBA

∠AFB = ∠β как соответствующие углы,
∠FAB = ∠ α как внутренние пересекающиеся углы от пересечения параллелей AF и BD на третьей прямой AB.

Так как ∠ α = ∠β по условию, то

∠AFB = ∠FAB, т е треугольник FAB равнобедренный, значит, FB = AB.

От чего АФ || BD следует пропорциям:

Заменив FB равным отрезком AB, получим соотношение:

Теорема 99 (обратная теореме 98). Прямая, проведенная из вершины треугольника и делящая противолежащую сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам, делит угол при вершине пополам.

Предоставленный. В треугольнике ABC (рис. 159) прямая BD пересекает противоположную сторону так, что имеет место пропорция:

Требуется доказать, что ∠ α = ∠β .

Доказательство. Проведем отрезок AF параллельно BD, тогда из треугольника AFC следует пропорция:

Сравнивая две пропорции (а) и (б), заключаем, что FB = AB, следовательно,

Поскольку ∠ α = ∠ FAB, ∠β = ∠ AFB, поэтому

Отношения в прямоугольном треугольнике

Теорема 100. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, в среднем пропорционален частям гипотенузы.

Предоставленный. В треугольнике ABC угол ABC прямой (рис. 160) и BD ⊥ AC.

Требуется доказать, что AD/BD = BD/DC.

Доказательство. Треугольники ABD и BDC равны, так как углы при точке D — равные прямые; при этом равенства означают ∠A + ∠ α = d, ∠ α + ∠β = d

A + α = α + β или A = β, следовательно, C = α.

Из подобия треугольников ABD и BDC следует пропорция

Примечание. Если одно отношение состоит из сторон треугольника, другое отношение состоит из соответствующих сторон другого треугольника. При этом рассуждают следующим образом: против стороны AD лежит угол α, который в подобном треугольнике BCD равен углу C, а против него лежит подобная сторона BD треугольника BCD, и т.д.

Теорема 101. Каждый катет умеренно пропорционален всей гипотенузе и отрезку, примыкающему к катету.

Доказательство а) Треугольники ABC и ABD (рис. 160) подобны, так как ∠ ABC = ∠ADB как прямые, ∠A правильный, поэтому

Из подобия между треугольниками следует пропорция:

б) Треугольники ABC и BCD подобны, так как ∠ABC = ∠BDC как прямые, ∠C правильный, поэтому

∠A = ∠β, откуда
ВС/ВС = ВС/АС (б)

Теорема 102. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Из предыдущих пропорций (а) и (б) следует сходство:

АВ 2 = АД АС
ВС 2 = постоянный переменный ток

Если сложить их вместе, получим:

AB 2 + BC 2 = AD AC + DC AC или
АВ 2 + ВС 2 = АС (АД + ДС) = АС АС = АС 2, т.е.
АС 2 = АВ 2 + ВС 2

а) Гипотенуза равна квадратному корню из суммы квадратов катетов.

б) Один катет равен квадратному корню из квадрата гипотенузы минус квадрат другого катета.

Теорема 103. Диагональ квадрата несоизмерима со стороной, или гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника несоизмерима с катетом.

Предоставленный. Диагональ АС проведена в квадрате ABCD (рис. 161).

Требуется доказать, что отношение AC/AD является несравнимой величиной.

Доказательство. Сравним больший отрезок АС с меньшим ВС по обычным методам нахождения общей меры, то есть наложим меньший отрезок на больший, первый остаток на меньший и т.д.

а) Наложим отрезок BC на отрезок AC. Если мы отложим отрезок AE, равный AB или BC, мы увидим, что отрезок BC подходит один раз, потому что

Поскольку AB = BC, то 2BC > AC и BC > ½AC, следовательно, первый остаток равен EC 2 = AB 2 + BC 2 .

Поскольку AB = BC, то AC 2 = 2AB 2 , из которых AC = AB √ 2 и AC/AB = √ 2 — несоизмеримая величина.

Соотношение между сторонами остроугольного и тупоугольного треугольника

Теорема 104. Квадрат стороны, противолежащей острому углу, равен сумме квадратов двух других сторон треугольника без удвоения произведения основания на отрезок между вершиной острого угла и высотой.

Здесь может быть два случая: 1) когда перпендикуляр, выражающий высоту, входит внутрь и 2) когда он выходит за пределы треугольника.

Первый случай. Перпендикуляр BD (рис. 162), опущенный из вершины B в основание AC треугольника ABC, пройдет внутри треугольника.

Требуется доказать, что АВ 2 = ВС 2 + АС 2 — 2АС · DC.

Доказательство. Для прямоугольного треугольника ABD имеем равенство:

АВ 2 = БД 2 + АД 2 (а)
AD = AC — DC, AD 2 = (AC — DC) 2 = AC 2 + DC 2 — 2AC DC

Из прямоугольного треугольника BDC имеем:

БД 2 = БК 2 — ДК 2

Подставив величины BD 2 и AD 2 в уравнение (а), получим:

АВ 2 = ВС 2 — ДС 2 + АС 2 + ДС 2 — 2АС ДС, от чего
АВ 2 = ВС 2 + АС 2 — 2АС DC (ПТД).

2 случай. Перпендикуляр BD (рис. 163) лежит вне треугольника ABC.

Доказательство. Из прямоугольного треугольника ABD имеем:

АВ 2 = БД 2 + ДА 2

Из прямоугольного треугольника BCD имеем:

БД 2 = БК 2 — КД 2

АВ 2 = ВС 2 — CD 2 + DA 2 .

DA=CD-AC
DA 2 = (CD — AC) 2 = CD 2 + AC 2 — 2CD AC, тогда
АВ 2 = ВС 2 — СД 2 + СД 2 + АС 2 — 2СД АС, от чего
АВ 2 = ВС 2 + АС 2 — 2СД АС (ЧТД).

Теорема 105. Квадрат стороны, противолежащей тупому углу, равен сумме квадратов двух других сторон треугольника на удвоенное произведение основания и его отрезка из вершины тупого угла на высоту.

Предоставленный. В тупоугольном треугольнике ABC отрезок CD (рис. 164) — это отрезок, лежащий между вершиной тупого угла и высотой.

Требуется это доказать

АВ 2 = АС 2 + ВС 2 + 2АС CD

Доказательство. Из тупоугольного треугольника АВС имеем:

АВ 2 = БД 2 + АД 2 (а)
AD = AC + CD, AD 2 = AC 2 + CD 2 + 2AC CD

Прямоугольный треугольник BCD предполагает, что

БД 2 = БК 2 — КД 2

Подставляя AD 2 и BD 2 в уравнение (а), получаем:

АВ 2 = ВС 2 — СД 2 + АС 2 + СД 2 + 2АС СД

АВ 2 = ВС 2 + АС 2 + 2АС СД (ПТД).

Теорема 106. Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырех сторон параллелограмма.

Дан параллелограмм ABCD (рис. 165) и проведены диагонали AC и BD.

Требуется это доказать

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Доказательство. Отбрасывая перпендикуляры BE и CF, получаем равенство из косого треугольника ABD:

BD 2 = AB 2 + AD 2 — 2AD AE (1)

Из равенства тупоугольного треугольника ACD:

AC 2 = CD 2 + AD 2 + 2AD DF (2)

Отрезки AE и DF равны, так как прямоугольные треугольники ABE и DCF равны, так как имеют равные стороны и равные гипотенузы.

Складывая равенства (1) и (2), имеем:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + CD 2 + AD 2

Так как AD = ВС, то

BD 2 + AC 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2 (ПТД).

Теорема 107. Сумма квадратов двух сторон треугольника равна сумме удвоенного квадрата отрезка, соединяющего вершину с серединой основания, с удвоенным квадратом половины основания.

Предоставленный. Соединим вершину B с серединой основания D в треугольнике ABC так, что AD = DC (рис. 166).

Требуется это доказать

АВ 2 + ВС 2 = 2АД 2 + 2БД 2

Доказательство. Нарисуем высоту BE.

Сходства следуют из прямоугольных треугольников ABE и BCE:

АВ 2 = БЭ 2 + АЭ 2
БК 2 = БЭ 2 + КЭ 2

Соединяя их, мы находим:

АВ 2 + ВС 2 = 2ВЕ 2 + АЕ 2 + СЕ 2 (а)

Так как AE = AD + DE = CD + DE, CE = CD — DE, то

AE 2 = (CD + DE) 2 = CD 2 + DE 2 + 2 CD DE
КЭ 2 = (КД — ДЭ) 2 = КД 2 + ДЭ 2 — 2КД ДЭ

АЭ 2 + СЕ 2 = 2CD 2 + 2DE 2 (б)

Подставляя в уравнение (а) сумму AE 2 + CE 2 из уравнения (b), имеем:

АВ 2 + ВС 2 = 2ВЕ 2 + 2CD 2 + 2ДЭ 2 .

Из прямоугольного треугольника BDE видно, что

БЭ 2 = БД 2 — ДЭ 2

АВ 2 + ВС 2 = 2БД 2 — 2ДЭ 2 + 2КД 2 + 2ДЭ 2

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, делит пополам треугольник, подобный данному.

2. Треугольники и образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции равны. Коэффициент подобия –

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины к прямому углу, делит его на два треугольника, подобных исходному.

Пример задачи

Даны два треугольника: △ABC со сторонами 3, 4 и 5 см; △DEF со сторонами 6, 8 и 10 см. Докажите, что эти фигуры подобны.

Решение
Т.к нам известны длины всех сторон, мы можем проверить на равенство с помощью третьей рассмотренной выше функции:

Это равенство верно, поэтому можно утверждать, что △ABC ∼ △DEF.