Сумма тангенсов

Зачем нужны тригонометрические формулы?

Как видите, существует множество тригонометрических формул. Здесь показаны не все. Но, к счастью для вас, вам не нужно учить всю эту таблицу. Достаточно знать только основы: №№ 1-6, 9. Остальные крайне редко встречаются на ЕГЭ по профильной математике, а если и попадутся, то скорее всего будут приведены в справочном материале.

А вот для участия в олимпиадах или если вы хотите через вступительные экзамены попасть в сильный математический вуз, вам может понадобиться вся таблица. По крайней мере, вы обязательно должны иметь представление о существовании таких формул, чтобы вывести их в случае необходимости. Да, большинство из них легко удалить.

Тригонометрические формулы нужны для связи всех тригонометрических функций между собой. Если вы знаете одну из функций, например синус, по этим формулам вы без труда найдете оставшиеся три тригонометрические функции (косинус, тангенс и котангенс). Кроме того, тождества позволяют упростить выражение под тригонометрической функцией: например, выразить синус двойного угла через комбинацию тригонометрических функций одинарного угла, что очень полезно при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Основные формулы сложения в тригонометрии

Существует восемь основных формул: синус суммы и синус разности двух углов, косинусы суммы и разности, тангенс и котангенс суммы и разности соответственно. Ниже приведены их стандартные формулировки и расчеты.

1. Синус суммы двух углов можно получить следующим образом:

— вычисляем произведение синуса первого угла на косинус второго;

— умножить косинус первого угла на синус первого;

— добавить полученные значения.

Графически запись формулы выглядит так: sin (α+β)=sin α cos β+cos α sin β

2. Синус разности вычисляется практически так же, только полученные произведения нужно не складывать, а вычитать друг из друга. Таким образом вычисляем произведения синуса первого угла на косинус второго и косинуса первого угла на синус второго и находим их разность. Формула записывается так: sin(α-β)=sin α cos β+sin α sin β

3. Косинус суммы. Для этого находим произведения косинуса первого угла на косинус второго и синуса первого угла на синус второго, и находим их разность: cos (α+β)=cos α cos β- грех α грех β

4. Разность косинусов: вычисляем произведения синусов и косинусов заданных углов, как и раньше, и складываем их. Формула: cos (α-β)=cos α cos β+sin α sin β

5. Тангенс суммы. Эта формула выражается в виде дроби, где числитель представляет собой сумму касательных к желаемым углам, а знаменатель представляет собой единицу, из которой вычитается произведение касательных к желаемым углам. Все понятно из графического обозначения: tg (α+β)=tg α+tg β1-tg α tg β

6. Тангенс разности. Вычисляем значения разности и произведения тангенсов этих углов и обрабатываем их аналогичным образом. В знаменатель прибавляем единицу, а не наоборот: tg (α-β)=tg α-tg β1+tg α tg β

7. Котангенс суммы. Для расчетов по этой формуле нам понадобится произведение и сумма котангенсов этих углов, с которыми мы работаем следующим образом: ctg (α+β)=-1+ctg α ctg βctg α+ctg β

8. Котангенс разности. Формула аналогична предыдущей, но в числителе и знаменателе — минус, а не плюс ctg (α-β)=-1-ctg α ctg βctg α-ctg β.

Вы, наверное, заметили, что эти формулы попарно подобны. Используя знаки ±(плюс-минус) и ∓(минус-плюс), мы можем сгруппировать их для удобства записи:

sin (α±β)=sin α cos β±cos α sin βcos (α±β)=cos α cos β∓sin α sin βtg (α±β)=tg α±tg β1∓tg α tg βctg (α± βctg (α±β) β)=-1±ctg α ctg βctg α±ctg β

Соответственно, у нас есть формула учета суммы и разности каждого значения, только в одном случае мы учитываем верхний знак, в другом — нижний.

Определение 2

Мы можем взять любые углы α и β, и для них будут работать формулы сложения косинуса и синуса. Если мы сможем правильно определить значения тангенсов и котангенсов этих углов, то и для них будут справедливы формулы сложения тангенса и котангенса.

Читайте также: Правила сравнения модулей чисел: положительных, отрицательных

Доказательства формул сложения

Как и большинство понятий в алгебре, формулы сложения можно доказать. Первая формула, которую мы докажем, это формула разностного косинуса. Отсюда вы можете легко вывести остальные доказательства.

Уточним основные термины. Нам нужен единичный круг. Он покажет, если мы возьмем некую точку А и повернем вокруг центра (точки О) углы α и β. Тогда угол между векторами OA1→ и OA→2 будет равен (α-β)+2π·z или 2π-(α-β)+2π·z (z — любое целое число). Полученные векторы образуют угол, равный α-β или 2π-(α-β), либо он может отклоняться от этих значений на целое число полных оборотов. Взгляните на картинку:

Мы воспользовались формулами приведения и получили следующие результаты:

cos ((α-β)+2π z)=cos (α-β)cos (2π-(α-β)+2π z)=cos (α-β)

Итог: косинус угла между векторами OA1→ и OA2→ равен косинусу угла α-β, поэтому cos (OA1→ OA2→) = cos (α-β).

Далее мы переходим к фактическому доказательству формулы разностного косинуса.

Запомните определения синуса и косинуса: синус — это функция угла, равная отношению катета противолежащего угла к гипотенузе, косинус — это синус дополнительного угла. Следовательно, точки A1 и A2 имеют координаты (cos α, sin α) и (cos β, sin β).

Получаем следующее:

OA1→=(cos α, sin α) и OA2→=(cos β, sin β)

Если непонятно, посмотрите координаты точек, расположенных в начале и конце векторов.

Длины векторов равны 1, потому что круг у нас один.

Теперь проанализируем скалярное произведение векторов OA1→ и OA2→. В координатах это выглядит так:

(OA1→,OA2)→ = cos α cos β+sin α sin β

Отсюда можно вывести равенство:

cos (α-β) = cos α cos β+sin α sin β

Таким образом, формула косинуса разности доказана.

Теперь докажем следующую формулу — косинус суммы. Это проще, потому что мы можем использовать предыдущие вычисления. Возьмем представление α+β=α-(-β). У нас есть:

cos (α+β)=cos (α-(- β))==cos α cos (-β)+sin α sin (-β)==cos α cos β+sin α sin β

Это доказательство формулы косинуса суммы. В последней строке используется свойство синуса и косинуса противоположных углов.

Формулу синуса суммы можно вывести из формулы косинуса разности. Возьмем для этого формулу приведения:

вида sin (α+β)=cos (π2(α+β)). Так
sin (α+β)=cos (π2(α+β))=cos ((π2-α)-β)==cos (π2-α) cosβ+sin (π2-α) sin β==sin α cos β + cos α sin β

А вот и доказательство формулы синуса разности:

sin (α-β)=sin (α+(-β))=sin α cos (-β)+cos α sin (-β)==sin α cos β-cos α sin β
Обратите внимание на использование свойств синуса и косинуса противоположных углов в последнем вычислении.

Далее нам потребуется доказательство формул сложения тангенса и котангенса. Вспомним основные определения (тангенс — это отношение синуса к косинусу, а котангенс — обратное) и возьмем уже выведенные заранее формулы. Мы сделали это:

tan (α+β)=sin (α+β)cos (α+β)=sin α cos β+cos α sin βcos α cos β-sin α sin β

У нас сложная дробь. Тогда надо разделить числитель и знаменатель на cos α cos β, учитывая, что cos α≠0 и cos β≠0, получаем:
sin α cos β+cos α sin βcos α cos βcos α cos β-sin α sin βcos α cos β=sin α cos βcos α cos β+cos α sin βcos α cos βcos sin α cos αs β cos α cos β

Теперь сократим дроби и получим следующую формулу: sin αcos α+sin βcos β1-sin αcos α sin βcos β=tg α+tg β1-tg α tg β.
Имеем tg (α+β) = tg α+tg β1-tg α tg β. Это доказательство формулы сложения тангенсов.

Следующая формула, которую мы докажем, это формула тангенса разности. Все наглядно показано в расчетах:

tg (α-β)= tg (α+(-β))=tg α+tg (-β)1-tg α tg (-β)=tg α-tg β1+tg α tg β

Аналогично доказываются формулы для котангенса:
ctg (α+β)=cos (α+β)sin (α+β)=cos α cos β-sin α sin βsin α cos β+cos α sin β==cos α cos β-sin α sin βsin α sin βsin α cos β+cos α sin βsin α sin β=cos α cos βsin α sin β-1sin α cos βsin α sin β+cos α sin βsin α sin β==-1+ctg α ctg βctg α ctg βctg α
Дальше:
ctg (α-β)=ctg(α+(-β))=-1+ctg α ctg (-β)ctg α+ctg (-β)=-1-ctg α ctg βctg α-ctg β

Примеры сложения по тригонометрическим формулам

В этом разделе мы рассмотрим, как применять эти, казалось бы, сложные вычисления на практике. Их можно использовать:

— при преобразовании тригонометрических выражений;

— для вычисления точных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, отличных от главных (0, π6, π4, π3, π2);

— для доказательства других тригонометрических формул, таких как формула двойного угла.

Разберем задачи, используя формулы сложения.

Пример 1

Задача: Вычислить точное значение тангенса 15 градусов.

Решение

Для наглядности мы можем представить 15 градусов как разницу 45-30. В этом случае решение задачи можно получить, используя формулу тангенса разности. Возьмем формулу, которую мы привели выше, и укажем известные нам значения в ней: tg15°=tg(45°-30°)=tg45°-tg30°1+tg45° tg30°

Вычислите ответ: tg45°-tg30°1+tg45° tg30°=1-331+1 33==3-13+1=(3-1)(3-1)(3+1)(3-1) =(3)2-23+1(3)2-1=2-3

Ответ: tg15°=2-3

Пример 2

Упражнение: выберем формулу сложения для проверки формулы приведения в следующем виде: sin (π2+α)=cos α

Воспользуемся формулой синуса суммы. Итого: sin (π2+α)=sin π2 cos α+cos π2 sin α=1 cos α+0 sin α=cos α

Ответ: sin (π2+α)=cos α – наша формула доказана.

Сумма аргументов

Действие	Формула
Синус суммы углов	грех (α + β) = грех α, потому что β + потому что α, грех β» data-order=»sin (α+β) = sin α cos β + cos α sin β»> sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Косинус суммы углов	cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β» data-order=»cos (α+β) = cos α cos β — sin α sin β»> cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β
Тангенс суммы углов	tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 — tg α tg β)» data-order=»tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 — tg α tg β)»>tg (α+β) = (tg α + tg β) / (1 — tg α tg β)
Котангенс суммы углов	ctg (α+β) = (ctg α ctg β — 1) / (ctg β + ctg α)» data-order=»ctg (α+β) = (ctg α ctg β — 1) / (ctg β + ctg α)»>ctg (α+β) = (ctg α ctg β — 1) / (ctg β + ctg α)

Разность аргументов

Действие	Формула
Синус угловой разности	грех (α-β) = грех α, потому что β — потому что α, грех β» data-order=»sin (α-β) = sin α cos β — cos α sin β»>sin(α-β) = sin α cos β — cos α sin β
Косинус разности углов	cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β» data-order=»cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β»> cos (α-β) = cos α cos β + sin α sin β
Тангенс разности углов	tg (α-β) = (tg α — tg β) / (1 + tg α tg β)» data-order=»tg (α-β) = (tg α — tg β) / (1 + tg α tg β)»>tg (α-β) = (tg α — tg β) / (1 + tg α tg β)
Котангенс угловой разницы	ctg (α-β) = (ctg α ctg β + 1) / (ctg β — ctg α)» data-order=»ctg (α-β) = (ctg α ctg β + 1) / (ctg β — ctg α)»>ctg (α-β) = (ctg α ctg β + 1) / (ctg β — ctg α)

Арктангенс, arctg

Определение и обозначения

Арктангенс (y = arctg x) является обратной величиной тангенса (x = tg y). Он имеет область действия и набор значений  .
tg(arctg x) = x     ;
arctg(tg x) = x     .

Арктангенс обозначается следующим образом:
.

График функции арктангенс

График функции y = arctg x.

График арктангенса получается из графика касательной путем перестановки осей абсцисс и ординат. Для устранения неоднозначности множество значений ограничено интервалом, в котором функция монотонна. Это определение называется главным значением арктангенса.

Арккотангенс, arcctg

Определение и обозначения

Арктангенс (y = arcctg x) является обратной величиной котангенса (x = ctg y). Он имеет область действия и набор значений  .
ctg(arctg x) = x     ;
arcctg(ctg x) = x     .

Арктангенс обозначается следующим образом:
.

График функции арккотангенс

График функции y = arcctg x.

График арктангенса получается из графика котангенса путем перестановки осей абсцисс и ординат. Для устранения неоднозначности диапазон значений ограничен интервалом, в котором функция монотонна. Такое определение называется главным значением арктангенса.

Четность

Функция арктангенса странная:
arctg(–x) = arctg(–tg arctg x) = arctg(tg(–arctg x)) = – arctg x

Функция арккотангенса не является четной или нечетной:
arcctg(–x) = arcctg(–ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π–arcctg x)) = π – arcctg x ≠ ± arcctg x.

Свойства – экстремумы, возрастание, убывание

Функции арктангенс и арккотангенс непрерывны в своей области определения, то есть для всех x. (см доказательства преемственности). Основные свойства арктангенса и арккотангенса представлены в таблице.

	у = арктангенс х	у = дуга х
Объем и преемственность	– ∞ < х < + ∞	– ∞ < х < + ∞
Много значений
По возрастанию, по убыванию	монотонно возрастает	монотонно убывает
Максимумы, минимумы	нет	нет
Ноль, у=0	х=0	нет
Точки пересечения с осью Y, x = 0	у=0	у = π/2
	–	π
		0

Таблица арктангенсов и арккотангенсов

В этой таблице показаны значения арктангенса и арктангенса в градусах и радианах для некоторых значений аргумента.

икс	дуга х	дуга х
	градусов.	счастливый.	градусов.	счастливый.
– ∞	— 90°	–	180°	π
–	— 60°	–	150°
— 1	— 45°	–	135°
–	— 30°	–	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772